11. Сравнение средних с помощью t критерия Стьюдента в двух независимых и связанных выборок: принцип метода и условия применения.

t-критерий является наиболее часто используемым методом, позволяющим выявить различие между средними двух выборок.

Теоретически t-критерий может применяться, даже если размер выборки очень небольшой и если переменные нормально распределены (внутри групп), а дисперсии наблюдений в группах не слишком различны. Известно, что t-критерий устойчив к отклонениям от нормальности.

Предположение о нормальности можно проверить, исследуя распределение (например, визуально с помощью гистограмм) или применяя критерий нормальности. Следует заметить, что эффективно проверить гипотезу о нормальности можно для достаточно большого объема данных.

Цель метода: определить, есть ли достоверные статистические различия между средними значениями генеральных совокупностей, из которых сформированы две исследуемые независимые выборки. Нулевая гипотеза: между средними значениями генеральных совокупностей, из которых сформированы две исследуемые независимые выборки отсутствуют достоверные статистические различия (M ̅_1=M ̅_2) Альтернативная гипотеза: между средними значениями генеральных совокупностей, из которых сформированы две исследуемые независимые выборки есть достоверные статистические различия. Среднее значение первой выборки достоверно выше среднего значения второй выборки или среднее значение второй выборки достоверно выше среднего значения первой выборки. Ограничения метода:

1. Исследуемые выборки независимы (между соответствующими представителями выборок не должна обнаруживаться корреляционная связь);

2. Измеренные данные в выборках подчиняются закону нормального распределения (если требование не выполняется, в качестве альтернативы используют непараметрический U-критерий Манна-Уитни);

3. Дисперсии исследуемых выборок относительно одинаковы (соответствие определяется через расчет F-критерия Фишера для исследуемых выборок и прнятии (отвержении) нулевой гипотезы о равенстве дисперсий).

Формула расчета:

Пусть имеются 2 независимые выборки объёмом N1 и N2, норм.распредел. СВ х1 и х2. Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гип-у о равенстве М,О, этих СВ. Рассмотрим разность выборочных средних: ∆=х1-х2. Если нул.гипотеза выполнена, дисперсия этой разности, исходя из независимых выборок Е(∆)=М1-М2=0

V(∆)=σ1/N1+σ2/N2, тогда исп-ся несмещ. оценка дисперсии разности выборочных средних. Тогда t равно(ВМЕСТО М В ФОРМУЛЕ ПИСАТЬ Х) , где х-выборочное среднее, σ²-выборочная дисперсия, N-размер выборки. Для определения уровня значимости используется таблица критических значений t-критерия Стьюдента. В случае если tэпирическое≥tкритическое, то нулевая гипотеза о равенстве средних отклоняется, на выбранном уровне статистической значимости. В проходных исслед-ях значения вер-ти = 0,05 считают критическим, поэтому если статистика критерия >2, вер-ть < 0,05

Расположение данных. Чтобы применить t-критерий для независимых выборок, требуется, по крайней мере, одна независимая (группирующая) переменная (например, Пол: м/ж) и одна зависимая переменная (например, тестовое значение некоторого показателя). С помощью специальных значений независимой переменной данные разбиваются на две группы.

Графики t-критериев. Анализ данных с помощью t-критерия, сравнения средних и меры отклонения от среднего в группах можно производить с помощью диаграмм размаха. Эти графики позволяют визуально оценить степень зависимости между группирующей и зависимой переменными.