- •1.Частн.Прирощ., произв., диф., их геом.Смысл.
- •2. Полный диф.Ф-ции нескольких переменных. Инвариантность ф-ции полн.Диф.
- •3. Необход. И дост. Условие диф. Ф-ции
- •6. Экстремум ф-ции нескол. Переем. Необх. И дост. Усл.
- •8. Первообр. Ф-ции и неопред. Инт.
- •12. Инт. Рациональных дробей
- •14. Инт. Тригонометрических выражений
- •15. Инт. Некот иррациональных выражений
- •16. Определенный инт. Геометр.Смысл
- •4. Произв.Сложных и неявнозад.Ф-ций
- •5. Кас.Пл. И норм. К поверхн. Скал.Поле. Градиент
- •7. Условный экстр. Метод множит. Лагранжа
- •11. Замена переменной в неопред. Инт.
- •13. Инт. Простейших рациональных ф-ций
- •17. Основные св-ва опред. Инт.
- •18. Формула Ньютана-Лейбница
- •19. Опред.Инт. С переменным верхним пределом
8. Первообр. Ф-ции и неопред. Инт.
Ф-ция F(x), x∈ X⊂ ,R наз первообразной для ф-ции f(x) на множестве Х, если она диф для любого x∈ X и Если F1(x) и F (x) - две различные первообр. одной и той же ф-ции f(x) на интервале (а,b), то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е
, где С - постоянная, ∀x∈(a,b). Совокупность всех первообр. для ф-ции f(x) наз неопределенным инт. От этой ф-ции и обозн. символом
С геометр. т зрения неопределенный инт. представляет
собой однопараметрическое семейство кривых y= F(х) +C (С – параметр), обладающих следующим св-вом: все касс. к кривым в точках с абсциссой х = х0 параллельны между собой.
12. Инт. Рациональных дробей
Для того чтобы проинтегр. рац. дробь, необходимо
выполнить следующие действия: 1) если рассматриваемая рац. дробь P к(x)/Qм(x)- неправильная, представить её в виде суммы многочлена и прав. Рац.дроби: 2) если рассматр. рац. дробь - прав., представить её в виде суммы простейших рац. дробей по формуле;
3) инт. от рац. дроби представить в виде суммы инт. от
целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти инт.
14. Инт. Тригонометрических выражений
1)
2) если хотя бы 1 из m или n – полож. Целое нечетное, то (допустим, что n):подносим под dx
Если m и n – полож. Четное число, то необходимо понизить степень sin или cos путем перехода к удвоенным аргументам, т.е. использовать ф-лы:
3) Замена: tg x = t, ctg x = t,
x = arctg t, dx = dt/1+t2 , tg2x =1/cos2x – 1, ctg2x = 1/sin2x –1
4) С помощью универсальной подст.:
15. Инт. Некот иррациональных выражений
1) Замена , s-общий знаменатель всех х
2) . Замена
3) . Замена x=a sin(t)
. Замена x=a tg(t)
. Замена x=a/cos(t)
4) . Путем разложения полного квадрата представить в виде и ввести замену
5) Если а) s – общий знаменатель m и n; б) s - знаменатель p; в) , s - знаменатель p.
16. Определенный инт. Геометр.Смысл
Пусть нужно найти S(aABb) ограниченной y=f(x),Ox,x=a,x=b.
Фигура наз. криволинейной трапецией. Пусть . Разобьем отр. произв. отр. На n частей точками х0, х1, х2,…хn,так чтобы х0< х1< х2<…< хn=b (1). Пусть
В каждом из частичных отр. выберем произв. т и составим сумму: (2) Сумма (2) наз. инт. Суммой для ф-ции f(x) на отр. или инт. Суммой Римана. Сумма = сумме заштрих. прямоугольников. Устремим все длины част.отр. к 0, так чтобы длина наидол. Част.отр.