Определение 3

Система функций y₁(х), y₂(х), ..., y_m(х) называется линейно независимой на интервале (a, b), если на этом интервале тождество (6) выполняется только в том случае, когда все коэффициенты _i(i = 1, 2, ..., m) равны нулю

 

(₁² + ₂² + ... + _m² = 0).

 

П р и м е р 2. Исследовать на линейную зависимость системы функций:

 

а) у₁(х) = х,  у₂(х) = 3х;     б) у₁(х) = sinх,  у₂(х) = cosх.

 

Решение. В случае (а) тождество ₁y₁(х) + ₂ y₂(х)  0 выполняется при  ₁ = 3 и ₂ = 1 для всех х, т. е. по определению 2 эта система функций линейно зависима на всей числовой прямой.

В случае (б) предположим, что ₁ sinх + ₂ cosх  0 и один из коэффициентов, допустим _1, отличен от нуля. Тогда  показывает, что это невозможно, так как выражение слева зависит от х, а справа  константа. Таким образом, функции sinx и сosx являются линейно независимой системой на ( ).

Анализируя решение примера 2, можно сформулировать утверждение общего характера: система, состоящая из двух функций, линейно зависима тогда и только тогда, когда их отношение является константой.

Для того чтобы сформулировать условия линейной зависимости системы функций, нам потребуется понятие определителя Вронского (вронскиана).

Определение 4

Определителем Вронского системы функций y₁(х), y₂(х), ..., y_m(х) называется функциональный определитель порядка m:

 

             = W[y₁, y₂, ..., y_m].          (7)

 

П р и м е р  3.  Найти определитель Вронского системы функций:

а) у₁(х) = х,  у₂(х) = 3х;    б) у₁(х) = sinх,  у₂(х) = cosх.

Решение. В случае (а) W[x, 3x] = . Для системы функций у₁(х) = sinх, у₂(х) = cosх имеем

 

             W[sinx, cosx] = 

 

 

Теорема 2 (необходимое условие линейной зависимости)

Если система функций  y₁(х), y₂(х), ..., y_m(х)  линейно зависима на  интервале (а, b), то ее определитель Вронского W[y₁, y₂, ..., y_m]  0    на (a, b).

 

В примере 2 (а) мы установили линейную зависимость системы функций, а в примере 3 (а) показали, что ее определитель Вронского равен нулю.

Данное условие является необходимым, но недостаточным. Сформулируем необходимое и достаточное условие линейной зависимости не для произвольной системы функций, а для решений линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Теорема 3

Функции y₁(х), y₂(х), ..., y_n(х)  решения линейного дифференциального уравнения (4), все коэффициенты которого непрерывны на  интервале (а, b), образуют линейно независимую систему тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского W[y₁, y₂, ..., y_m] 0  ни в одной точке интервала (a, b).

 

П р и м е р  4.  Очевидно, что функции у₁(х) = sinх, у₂(х) = cosх являются решениями уравнения у(х) + у(х) = 0. По теореме 3 мы можем утверждать, что они линейно независимы на всей числовой оси, так как  W[sinx, cosx]  1 (см. пример 3).

Для установления линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения нужно по теореме 3 проверить, что определитель Вронского ни в одной точке интервала не равен нулю. В этом заключается неудобство данного критерия. Однако его можно упростить, если воспользоваться формулой Остроградского  Лиувилля: 

W[y₁(х), y₂(х), ..., у_n(x)] = W[y₁(х₀), y₂(х₀), ..., у_n(x₀)] ,      (8)

 

где y₁(х), y₂(х), ..., у_n(x)  решения линейного однородного дифференциального уравнения (4), в котором все коэффициенты непрерывны на интервале (а, b), х₀  (а, b) и р₁(t)  коэффициент перед производной (n  1)-го порядка в (4).

Действительно, равенство (8) означает: из того, что определитель Вронского не обращается в нуль в некоторой точке х₀  (а, b) следует, что он не равен нулю ни в какой другой точке этого интервала, так как функция     е^х  0 при любом х. Таким образом, получаем

Следствие. Совокупность n решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с непрерывными на (а, b) коэффициентами линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке этого интервала.

 

Определение 5

Совокупность n решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, которая определена и линейно независима на интервале (a, b), называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

 

Теорема 4

Если коэффициенты линейного однородного дифференциального уравнения порядка n непрерывны на  интервале (а, b), то для него на этом интервале существует фундаментальная система решений:

 

y₁(х), y₂(х), ..., y_n(х).

 

Следующая теорема дает ответ на один из основных вопросов в теории линейных дифференциальных уравнений.

 

Теорема 5

Если y₁(х), y₂(х), ..., y_n(х)  фундаментальная система решений  линейного однородного дифференциального уравнения порядка n, то его общее решение определяется формулой

 

y(x) = С₁y₁(х) + С₂y₂(х)+  ... + С_ny_n(х),                           (9)

 

где С_i (i = 1, 2, ..., n)  произвольные константы.

 

Таким образом, теорема 5 фактически утверждает, что пространство решений данного линейного однородного уравнения n-го порядка имеет        базис ФСР, который состоит из n решений.

 

П р и м е р  5.  Показать, что функции у₁(х) = sinх,  у₂(х) = cosх образуют фундаментальную систему решений уравнения у(х)+ у(х) = 0. Записать общее решение уравнения.

Решение. Очевидно, что функции у₁(х) = sinх,  у₂(х) = cosх удовлетворяют данному уравнению. По теореме 3 они линейно независимы на всей числовой оси, так как W[sinx, cosx]  1 (см. пример 3). Таким образом, они являются фундаментальной системой решений. Общим решением является функция у(х) = С₁sinx + C₂cosx (cм. теорему 5).

 

28 Определитель Вронского и его свойства

Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций  , дифференцируемых на промежутке   (n-1)-раз — функция на  , задаваемая определителем следующейматрицы:

.

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций   с n компонентами:  . Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его  ):

.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.

Свойства

• Если   — линейно зависимы на  , то  .

• Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции   являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное вообще говоря неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).

• Если   - решения линейного однородного дифференциального уравнения  -го порядка, то   называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что   линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке  , что означает линейную независимость функций  .

• Если   - решения линейной однородной системы, то   либо тождественно равен нулю, и это означает, что   линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке  , что означает линейную независимость функций  .

•  - где   — определитель Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:

[править]Примеры

• Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций   равен нулю:

• Проверим теперь линейную независимость функций 

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

• Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду ноль.

Однако эти функции, очевидно, являются линейно независимыми. Видим что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

32. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с правой частью специального вида.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид  , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X. Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ. Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения   с непрерывными на интервале интегрирования Xкоэффициентами   и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения   соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения   исходного неоднородного уравнения. То есть,  . Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма  . Нахождение   описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять  . Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей с правой части уравнения. Перечислим их.

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде  , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как   - частное решение уравнения  , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства  . Перейти к решению примера... 

2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты  , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде  , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных  . Коэффициенты многочленаQ_n(x) определяются из равенства  . Перейти к решению примера... 

3. Если функция f(x) имеет вид  , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как  , где А и В – неопределенные коэффициенты,r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных  . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства  . Перейти к решению примера... 

4. Если  , то  , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных  ,P_n(x), Q_k(x), L_m(x) и N_m(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов L_m(x) и N_m(x) находятся из равенства  . Перейти к решению примера... 

5. Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий. Находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂, где y₁ и y₂ - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Далее варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C₁(x) ⋅ y₁ + C₂(x) ⋅ y₂. Производные функций C₁(x) и С₂(x)определяются из системы уравнений  , а сами функции C₁(x) иC₂(x) находятся при последующем интегрировании. Перейти к решению примера... 

Пример. Решите задачу Коши  ,  . Решение. Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  , удовлетворяющее начальным условиям  . Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением. Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения   и какого-либо частного решения неоднородного уравнения  , то есть,  . Найдем  . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.   Корни действительные и различные, поэтому,  . Переходим к  . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение   ищем в виде  , где А, В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства  .   Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, приходим к системе линейных уравнений  . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты  . Следовательно,   и  . Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям  . То есть, требуется определить такие C₁ и C₂ в равенстве  , чтобы выполнялись условия  . Имеем   С другой стороны  . Таким образом, получаем систему уравнений  . Откуда  . Следовательно, решением задачи Коши является функция  

34 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

истема дифференциальных уравнений 1-го порядка в нормальной форме записи имеет вид

u′ = Au.

(1)

Здесь u — n-мерный вектор, A — матрица n×n, элементы которой являются константами. Для нахождения решения системы (1) необходимо определить собственные числа матрицы A, т.е. корни характеристического уравнения det (A – λE) = 0. По основной теореме алгебры это уравнение имеет ровно n корней с учётом кратности. Если все корни λ_k, k = 1, n, различны между собой, то общее решение системы (1) можно представить в виде

	n
u(t) =	∑	Ck hk e^λ^k^t.
	k=1

(2)

где h_k — любой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу λ_k (т.е. h_k — любой ненулевой вектор, являющийся решением вырожденной системы уравнений(A – λ_kE)h_k = 0), C_k — произвольные константы.

Случай кратных корней более интересен. Если корень λ имеет кратность m, то его вклад в решение (2) зависит от ответа на вопрос: «Можно ли найти m линейно независимых собственных векторов для этого корня?», а этот ответ, в свою очередь, зависит от ответа на вопрос: «Чему равен ранг матрицы (A – λE)?».

ТАБЕЛЬ  О  РАНГАХ

	... и дальше замямлил такие прописные истины, что толпа, слушавшая уже шестую международную речь, похолодела.
	И. Ильф, Е. Петров. «Двенадцать стульев».

Ранг матрицы — это или число её линейно независимых строк, или число её линейно независимых столбцов, или порядок её максимального минора с ненулевым определителем. Любого из этих трёх равнозначных определений ранга вполне достаточно на все случаи жизни. При решении задач мы будем иметь дело только с квадратными матрицами, поэтому о прямоугольных матрицах здесь говорить не будем.

Если дана матрица A размером n×n, то её ранг — это целое число от нуля до n. Рассмотрим крайние варианты. Если A — нулевая матрица, т.е. состоит из одних нулей, то rank A = 0. Если A — матрица с ненулевым определителем, т.е. det A ≠ 0, то rank A = n, поскольку в этом случае максимальный невырожденный минор — это сама матрица A и есть. Во всех остальных случаях 1 ≤ rank A ≤ n–1.

Обычно ранг матрицы находят используя слегка модифицированные приёмы, полезные при нахождении определителя (далее эти приёмы даются для столбцов; во всех формулировках столбцы можно заменить на строки):

1. Все элементы столбца можно умножить на любое число, отличное от нуля. Например, можно сократить все элементы столбца на общий множитель.

2. К одному столбцу можно прибавить другой, умноженный на любое число.

3. Нулевой столбец можно выкинуть (ранг от этого не изменится). Из двух одинаковых или пропорциональных столбцов один можно выкинуть.

4. Столбцы можно переставлять.

Поговорим теперь о ранге матриц вида A – λE, где λ — собственное число матрицы A. Для таких матриц det(A – λE) = 0, поэтому обязательно rank(A – λE) < n.

Многие задачи, которые нам предстоит рассмотреть, связаны с матрицами 3×3, т.е. rank (A – λE) < 3. Совсем уж тривиальных задач, когда A – λE вдруг окажется нулевой матрицей, тоже не будет. Таким образом, ранг будет или 1, или 2. Если все строки пропорциональны между собой, то rank (A – λE) = 1. Если взгляд выхватывает две строки, где пропорциональность отсутствует, а простейшая проверка минора 2×2 даёт ненулевой определитель, тоrank (A – λE) = 2.

Возвращаемся к рассмотрению случая кратных корней. Итак, пусть собственное число λ исходной n×n-матрицы A имеет кратность m. При этом rank(A – λE) мы знаем. Тогда число линейно независимых векторов для λ равно n – rank(A – λE). Если m = n – rank(A – λE), т.е. найдётся m ЛНЗ собственных векторов h₁, h₂, ..., h_m, то форма решения (2) не меняется: вклад собственного числа λ в решение u(t) имеет вид

(C1 h1  + C2 h2  + ... + Cm hm ) e^λ^t.

(3)

Если же n – rank(A – λE) < m, т.е. количество ЛНЗ векторов меньше, чем надо, то вклад числа λ в решение u(t) будет следующим:

(t^sh1  + t^s^–1h2  + ... + hs+1) e^λ^t.

(4)

Здесь степень s многочлена в скобках есть разность между кратностью корня λ и числом ЛНЗ собственных векторов для него (т.е. s = m – n + rank(A – λE)). При этом произвольные постоянные входят в состав векторов h_k (т.е. здесь требуется искать не какое-то частное решение соответствующей вырожденной системы, а общее). Нахождение векторов h_k осуществляется с помощьюподстановки (4) в уравнение (1).

806. Решить систему уравнений





 x′  y′  z′





=





–2   1   3

1   –2   –3

–2 2 5





 x  y  z





.

Характеристические числа в данном случае известны: λ₁=3, λ_2,3=–1.

Решение. []

811. Решить систему уравнений





 x′  y′  z′





=





2   2   –1

–1   –1   1

–1 –2 2





 x  y  z





,     λ_1,2,3 = 1.

Решение. []

Необходимо отметить, что в случаях, подобных вышеизложенному (т.е. когда число ЛНЗ собственных векторов меньше кратности собственного числа), имеется и другой способ нахождения решения. Этот способ основан на построении линейно независимых серий векторов (см. дайджест у Филиппова, подробности — у Понтрягина). Мне он кажется неоправданно громоздким для такой простой задачи, хотя и красивым в теоретическом плане. Однако, если в будущем предвидится необходимость в массовом решении дифференциальных систем или хочется довести своё умение решать подобные задачи до автоматизма и, заодно, свести к минимуму времязатраты (впрочем, шансов сравняться по этому показателю с Maple никаких), то понтрягинский подход можно выучить. А так, достаточно запомнить просто принцип:

1. вклад собственного числа λ в общее решение — это многочлен степени «кратность λ минус число соответствующих ЛНЗ собственных векторов», умноженный на e^λt;

2. если подставить такое произведение в исходную систему, то можно найти коэффициенты-векторы многочлена;

3. искать коэффициенты-векторы надо в общем виде (частных решений не достаточно) и последовательно, начиная с коэффициента при старшей степени многочлена.

39 Признак Даламбера сходимости числового ряда

Пусть задана бесконечная последовательность чисел   . Выражение   называется числовым рядом. При этом числа   называются членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде  .

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его  -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании  .

Следствие. Если  -й член ряда не стремится к нулю при  , то ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами   отношение  -го члена ряда к  -му при   имеет конечный предел  , т.е.  , то: - ряд сходится в случае  , - ряд расходится в случае  . В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.