1 Теоретические основы

1.1. Численное интегрирование функций

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл от некоторой непрерывной функции f(x)

. (6)

Численное значение интеграла равно площади, заключенной между кривой y= f(x), осью x и вертикальными прямыми x=a и x=b (рис. 2).

Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек x_j[a,b], x_j=a+jh, j=0,...,n. Величина называется шагом разбиения. Обозначим f_j=f(x_j).

С помощью такого разбиения площадь криволинейной фигуры удается вычислить намного точнее и проще, чем без разбиения (см. рис. 2).

Рис. 2. Численное интегрирование

Таким образом, интеграл представляется суммой интегралов

. (7)

Метод трапеций

Рассмотрим численное интегрирование фигуры, полученной путем соединения отрезком прямой двух точек на графике функции. Полученная фигура является трапецией (рис.а). Тогда интеграл приближенно равен ее площади

,

Рис. а

1.2 Применение экстраполяции для оценки погрешности

Для тестовых примеров, имеющих аналитическое решение можно найти разность между приближенным и точным результатом. Распространение этой оценки на другие примеры очень ненадежно. Выход может быть найден, если вместо точного использовать приближенное, но более точное по сравнению с проверяемым значение. Однако при этом возникают два вопроса: как получить это более точное значение и как проверить, что оно действительно точнее исходного.

Более точное значение можно вычислить, пользуясь тем же способом, что и проверяемое. Но это приводит к дополнительным требованиям к ресурсам, которые могут оказаться невыполнимыми. Есть и другой способ: использовать более грубые результаты (с меньшим числом узлов и временем счета). Если погрешность метода подчиняется некоторому закону, то, зная этот закон (в виде характера зависимости, например, степенной, экспоненциальный и т.п.), можно по нескольким результатам провести идентификацию и приближенно предсказать значение, соответствующее бесконечному числу узлов.

Ответить на второй вопрос можно с помощью повторной экстраполяции, т.е. экстраполяцией экстраполированных результатов, полученных для разных наборов исходных данных. В этом случае получается оценка погрешности экстраполированных результатов (или размытость оценки погрешности). Если эта оценка удовлетворяет требованиям: в три и более раз меньше оценки погрешности исходных данных (относительная размытость меньше 1/3 [9]). То цель достигнута. Если нет, то данный способ оценки в конкретном случае следует признать ненадежным. Подробнее о критерии надежности сказано ниже.

Кроме того, при хороших оценках результаты экстраполяции можно использовать вместо вычисленных данных, как более точные. При этом необходима дополнительная экстраполяция, чтобы убедиться в надежности полученных таким способом результатов. В некоторых случаях путем повторной экстраполяции можно получить результаты, на многие порядки более точные, чем рассчитанные непосредственно с помощью численного метода, и чего невозможно было бы добиться прямым расчетом в связи с огромными затратами времени, превышающими разумные пределы.

Численная фильтрация

При экстраполяции требуется априорное знание характера зависимости результата расчетов от числа узлов (или математической модели погрешности), например

(1.6)

где z – точное значение; z_n- приближенный результат, полученный при числе узловых точек, равном п; с_j – коэффициенты, которые предполагаются не зависящими от п; {п)- величина, полагаемая малой по сравнению с с_jn^-kj при тех значениях п, которые использовались в данных конкретных расчетах, k₁,..., k_L –произвольные действительные числа (предполагается, что k₁< k₂<...<k_L).

В математическом анализе обычно оценивается только первый член, поскольку остальные являются асимптотически (при n) бесконечно малыми более высокого порядка. Однако для конечных п остальные слагаемые могут вносить существенный вклад и должны приниматься во внимание.

Если решение задачи представляет собой функцию с несколькими непрерывными производными, то можно допустить возможность его разложения по формуле Тейлора, тогда k_j – это часть ряда натуральных чисел. Тогда к задаче нахождения предельного при n значения z можно подойти как к задаче интерполяции зависимости z(x) от параметра х=1/п алгебраическим многочленом с последующей экстраполяцией до х=0. Есть и другой подход, приводящий при условии постоянства Q=n_j/n_j-1 к тому же алгоритму, но не требующий целочисленности k_j. Это решение задачи численной фильтрации, т.е. последовательное устранение степенных слагаемых суммы (26) при сохранении значения константы г. Рассмотрим два значения z_n1, z_n2, вычисленные при числе узлов, равном n₁ и п₂=Qn₁ соответственно. Составим линейную комбинацию

(1.7)

и потребуем, чтобы, суммарный коэффициент при z был равен 1, а при с_j (для определенного j) равен 0. Отсюда получим формулу фильтрации, которая совпадает с экстраполяционной формулой Ричардсона [1]

(1.8)

Проводя последовательно экстраполяцию по всем парам соседних значений, получим отфильтрованную зависимость, не содержащую члена с п^-kj

(1.9)

где

(1.10)

Заметим, что отфильтрованная последовательность z*_nj cодержит на один член меньше, чем исходная. Если она содержит больше одного члена, то ее также можно отфильтровать, устранив степенную составляющую с п^-kl. Операции фильтрации можно повторять последовательно для п^-k1,...,п^-kL, если исходная последовательность содержит достаточное количество членов. Результаты экстраполяции удобно представлять в виде треугольной матрицы

(1.11)

Применение повторной экстраполяции при k_j=j известно под названием метода Ромберга. При его применении возникает ряд ограничений.

Применение повторной экстраполяции приводит к изменению коэффициентов суммы (26). При k₁>>k_j увеличение абсолютной величины коэффициентов может оказаться весьма существенным. Это ограничивает число возможных экстраполяции.

Величина (п) в (26) может оказаться суммой регулярной составляющей, имеющей вид сn^-k , и нерегулярной составляющей ⁽⁰⁾,обусловленной погрешностью исходных данных, которая, например, связана с ограниченной разрядностью чисел в машинном представлении. Тогда исходная нерегулярная часть погрешности, содержащаяся в вычисленных значениях z_j, при каждой экстраполяции умножается на коэффициент

(1.12)

Для метода Ромберга, применяемого к последовательности (1.9) при k_j=j, произведение таких множителей ограничено числом, приблизительно равным 8 (получено численно), т.е. метод Ромберга является устойчивым к погрешности исходных данных, но сам уровень нерегулярной погрешности может ограничить число возможных экстраполяции.