- •1. Дайте определение расстояния ρ(a,b) между точками a,b∈r. Сформулируйте и докажите свойства функции ρ(a,b).
- •8. Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции f(X,y)? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?
- •9. Дайте определение градиента функции f(X,y) в точке (x0,y0). Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост функции. Чему равна скорость этого роста?
- •10. Дайте определение однородной функции степени α
- •11. Приведите пример однородной функции f(X,y) степени 3, не являющейся рациональной функцией.
- •15. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда …
- •16. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.
- •19. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами
- •20. Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.
- •21. Дайте определение гармонического ряда. Докажите, что гармонический ряд расходится.
- •22. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.
- •27. Дайте определение выпуклого множества в Rn. Приведите примеры выпуклых множеств в r2, объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.
- •28. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u,V ⊂r2 является выпуклым множеством
27. Дайте определение выпуклого множества в Rn. Приведите примеры выпуклых множеств в r2, объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.
Ответ: Множество называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.
28. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u,V ⊂r2 является выпуклым множеством
Ответ: Пусть U,V – выпуклые на выпуклом множестве R2 и точки A,B R2
Вычислим:
(U+V)(αA+(1-α)B)=U(αA+(1-α)B) + V(αA+(1-α)B)≤αU(A)+(1-α)U(B) + αV(A)+(1-α)U(B)=α(U(A)+V(A))+(1-α)(U(B)+V(B))=α(U+V)(A)+(1-α)(U+V)(B) для всех α [0;1]
29. Дайте определение выпуклой функции нескольких переменных. Докажите, что если функции f(x) и g(x), определенные на выпуклом множестве X Rn, являются выпуклыми, то их сумма f(x)+g(x) – также выпуклая функция.
Ответ: Функция f(x), определенная на выпуклом множестве X из Rn, называется выпуклой, если для любых векторов a,b из X и любого α [0;1] выполняется неравенство
F(αa + (1-α)b) ≤αf(a) + (1-α)f(b)
Пусть A – выпуклая область и функции f(x) и g(x) выпуклы в A. Тогда сумма этих функций h(x)=f(x)+g(x) также выпукла в A.
Док-во: Пусть x1 и x2 принадл. A и x3=s*x1+(1-s)*x2, где s [0;1]. Тогда h(x3)=f(x3)+g(x3)=f(s*x1+(1-s)*x2) + g(s*x+(1-s)*x2)=s(f(x1)+g(x1)) + (1-s)* *(f(x2)+g(x2))=s*h(x1) + (1-s)*h(x2), что и означает выпуклость функции h.
30. Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повторному. Докажите, что если функции f(x) и g(y) непрерывны на отрезках [a,b] и [c,d] соответственно, то = * , где G={(x,y)| a≤x≤b, c≤y≤d}
Ответ: Пусть область G – криволинейная трапеция, ограниченная линиями x=a, x=b (a≤b), y=g1(x), y=g2(x) (g1(x)≤g2(x) при x [a,b])
Если f(x,y) интегрируема на G и при любом фиксированном x [a,b] существует интеграл , то верна формула =
31. Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле. Перейдите к полярным координатам в интеграле , где G={(x,y)|x2+y2≤9}
Ответ: Пусть непрерывно дифференцируемые функции х = х(u; v); у = у(u; v) осуществляют однозначное отображение ограниченной и замкнутой области Р в плоскости Оху на область Р' в окрестности Ouv. Если якобиан
= сохраняет постоянный знак в Р, то справедлива формула =
В случае перехода к полярным координатам r и γ: x=rcosγ; y=rsinγ, получаем
=
32. Дайте определение линейного дифференциального уравнения. Докажите, что если y1(x) и y2(x) – решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, то их разность y1(x)-y2(x) является решением соответствующего однородного уравнения.
Ответ: Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn(x)y=f(x), где y=y(x) – искомая функция, y(n),y(n-1),…,y’ – ее производные, а p1(x), p2(x), …, pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) – заданные функции.
Док-во:
33. Дайте определение линейно независимой системы функций. Докажите линейную независимость системы y=e-x, y=ex, y=e2x на R.
Ответ:
34. Докажите линейную зависимость системы функций y=1, y=x-2, y=x+2 на R.
Ответ: