15. Интегрирование некоторых иррациональных ф-ий
Рассмотрим интеграл вида:
Где подинтегральная ф-ия – рац-ая по переменной х
п- натуральное число; a,b,c,d- некоторые постоянные.
∫-лы такого вида могут быть вычислены способом подстановки :
Таким образом:
Под интегралом получили рациональную дробь.
Частные случаи:
1.
c=0,
d=1→
2. a=1, b=0, c=0,d=1
17. Геометрическая задача. Определение опред-ого интеграла.
Пусть ф-я y=f(x) опред. И непрерывна на [a;b]. Продел. следующие операции:
1. отрезок [a;b] разобьем на n-частей (не обяз. равных) точками.
a=x0<x1<x2<…<xk<xk+1<…<xn=b
2. На кажд. k-ом отрезке выберем xk[xk,xk+1] и найдем значение ф-и в них.
3. Обозначим через k длину k-того отрезка k=| xk+1- xk|б а через max k. =(max k) 0≤k≤n-1
4.
Составим произведение: f(xk)k=f(xk)(xk+1)
и найдем сумму всех таких произведений
-
сумма Римана.
5. найдем предел суммы Римана
Определение определ-ого ∫:
Если этот предел сущ. и конечен, ни зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек в соответствующих частичных промежутках ,то его наз. определ. интегралом от ф-и f(x) по отрезку [a;b] и обознач. след. символов:
Если ф-я f(x) непрерывна или кусочнонепрерывна на [a;b], то она интегрируема на нем, т.е. ее опред. интеграл сущ.
18. Свойства определённых ∫-ов.
1) Определённый ∫ есть число, которое зависит от вида интегральной ф-ии и от пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования, поэтому можно обозначать любой буквой.
2) определенным ∫-ом явл-ся ∫ когда нижний предел меньше верхнего : a<b
если
же a>b,
то
3).Постоянный множитель можно выносить за знак ∫:
4). Опред-ый ∫ от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме отрезков интегралов:
5).при любом расположении точек a,b,c справедливо рав-во
6). Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения ф-ии на [a;b] и a<b, то
7) теорема о среднем значении:
Если f(x) непрерывна на [a;b] , то на этом отрезке обязательно найдётся такая точка ξ, что
19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Теорема Ньютона-Лейбница
1 теорема: Производная определённого ∫ от ф-ии по верхнему пределу равна значению подинтегральной ф-ии на верхнем пределе интегрирования
Если f(x) непрерывна на [a,b], то для неё на этом отрезке существует первообразная.
2 теорема (ф-ла Ньютона-Лейбница): Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b] и имеет на этом отрезке первообразную F(x), то
По
данному f(x)
непрерывна на [a,b],поэтому
по теореме (1) для неё существует
первообразная:
Кроме
того по данному , F(x)
также первообразная для f(x),
а любые 2 первообразные отличаются друг
от друга на постоянную величину, т.е
20. Замена переменной и интегрирование по частям в опред-ом интеграле.
Если
f(x)
непрерывн. ф-я на [a;b]
и сущ. непрерывно дифф. ф-я x=(t)
такая, что t[;],
()=a,
()=b
и при изменении t
от
до
х принимает все значения от
до
([a;b]),
то:
(3)
Формула замены переменной в опр. интеграле. Док-во: пусть F(x) – это некоторая первообр. для f(x), т.е. F’(x)=f(x) для x[a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:
Таким
образом, для вычисл. интеграла
,
надо подобрать непрерывно дифф. монотонную
ф-ю x=(t),
решить ур-е ()=a,
()=b,
откуда =-1(а),
=-1(b)
и
и
подставить в формулу (3), тогда
Формула
замены переменной (3) прочитанная справа
налево позволяет сводить вычисление
интеграла:
c
помощью замены (x)=t,
(a)=t,
(b)=,
к вычислению интеграла
Интегрирование по частям:
Если
U=U(x),
V=V(x)
непрерывно дифф. на [a;b],
то имеет место формула
(5)
Док-во: следует из равенства
,
а с др. стороны
28. лин-ые одн-ые ДУ второго порядка с пост. Коэффициентами:
Уравнение вида y”+py’+qy=0.
Характеристическое уравнение: k2+pk+q=0, k-корень уравнения.Случаи:
D=
p2-4q>0
– тогда
2 различных корня: 
=
,
=
и общее решение у=
+
.
D=
p2-4q=0
–
тогда равные корни: 
=
и общее решение у=
+
.
D=
p2-4q<0
– тогда корни ищем по формулам: 
=
=
.
Обозначим
=
и 
=β,
тогда корни 
и 
.
Общее решение
у=
(
)