26. Непрерывность функции двух независимых переменных.

Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел R на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке a€R , если для любого числа существует число , такое, что для всех x€R , удовлетворяющих соотношению выполняется неравенство

27. Частные производные и вектор градиента функции двух независимых переменных. Производная по направлению. Понятие о линиях уровня.

Градиент. Градиентом функции z = f (М), в точке М (х, у, z ) называется вектор, координаты которого равны ответствующим частным производным взятыми в точке М( х, у, z ) Используя понятие градиента функции, и учитывая, что вектор имеет ординаты cosα,cosβ,cosγ , представим формулу в виде скалярного произведения векторов gradf и вектора . С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем . Учитывая, что , получаем . Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при cosφ = 1 (φ = 0), т.е. когда направление вектора совпадает с направлением grad f. При этом . Таким образом, градиент функции z = f (М) в точке М ( х, у, z ) характеризует направление и величину максимальной скорости изменения этой функции в данной точке. Соотношение для дифференциала функции f (М) можно представить в векторном виде, если ввести вектор перемещения и воспользоваться скалярным произведением в координатной форме Полный дифференциал скалярной функции равен скалярному произведению градиента функции на дифференциал вектора перемещения.

Производная по направлению. Рассмотрим функцию z = f (М), определенную в некоторой окрестности точки М( х; у, z ), и произвольный единичный вектор . Для характеристики скорости изменения функции в точке М(х; у; z ) в направлении вектора введем понятие производной по направлению. Для этого проведем через точку М прямую l в направлении вектора , на этой прямой выберем точку М1(x + Δx , y + Δy , z + Δz ). Величина отрезка ММ1 равна . Функция f (М) получит при этом приращение Δ f = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz) - f (x, y, z). Определение. Предел отношения при Δl → 0, (М1 → М), в точке М(х; у; z ) называется производной по направлению вектора и обозначается , т.е.

28. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциал второго порядка функции нескольких переменных.

Частной производной по x от функции z=f(x;y) называется предел отношения частного приращения этой функции по x к приращению , когда последнее стремится к нулю:

Частной производной по y от функции z=f(x;y) называется предел отношения частного приращения этой функции по y к приращению , когда последнее стремится к нулю: Пусть задана функция z=f(x;y). Если аргументу x сообщить приращение , а аргументу y – приращение , то функция z=f(x;y) получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: . Функция z=f(x;y), полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ): . где γ1 и γ2 стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке. Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz: , где dx и dy – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и .

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных z=f(x;y) их четыре: