- •1 Формулы преобразования координат.
- •2 Алгебраические линии на плоскости.
- •3 Комплексная плоскость.
- •4 Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат.
- •5 Стандартная схема упрощения уравнения кривой второго порядка.
- •6 Полная классификация кривых второго порядка
- •7 Инварианты кривой второго порядка
- •8 Отыскание канонических уравнений по инвариантам.
- •9 Центр линии второго порядка.
- •10 Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления относительно кривой второго порядка
- •11 Диаметры кривой второго порядка
- •12 Сопряженные диаметры кривой второго порядка.
- •13 Касательная к линии второго порядка.
- •14 Главные направления. Главные диаметры.
- •15 Определение расположения квп по отношению к исходной системе координат.
- •16 Уравнение квп в аффинной системе координат.
1 Формулы преобразования координат.
Задача преобразования координат состоит в следующем: Пусть на плоскости заданы две системы координат — «старая» и — «новая», а также произвольная точка плоскости , имеющая координаты и соответственно. Требуется найти связь между старыми и новыми координатами точки , зная координаты точки и векторов и в старой системе координат. Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат и . Первую систему координат назовем старой, а вторую — новой. Пусть — произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координаты , а в новой системе — . Пусть . По правилу треугольника , поэтому имеем равенство , или . Учитывая, что векторы линейно независимы, приходим к формулам
Это формулы преобразования аффинных координат. Заметим, что коэффициенты при переменных составляют матрицу перехода от базиса к базису , поэтому Следовательно, мы можем выразить координаты точки в новой системе через координаты той же точки в старой системе . Не приводя эти формулы отметим только, что функции и линейные. Рассмотрим теперь преобразование прямоугольных систем координат. Возможны два случая. I. Обе системы и — ориентированы одинаково. Пусть , а ориентированный угол между векторами и равен . Найдем координаты векторов в базисе . Имеем и . Таким образом, ; . Поэтому, формулы принимают вид: — -- это формулы преобразования декартовых систем координат, ориентированных одинаково. II. Системы и — ориентированы противоположно. Пусть , а ориентированный угол между векторами и равен . Найдем координаты векторов в базисе . Имеем и . Таким образом, ; . В этом случае, формулы принимают вид: -- это формулы преобразования декартовых систем координат, ориентированных противоположно. Замечание 1.1. Формулы и можно записать вместе где . Замечание 1.2. Если , то формулы принимают вид Формулы — это формулы параллельного переноса. Замечание 1.3. Если , то формулы преобразования примут вид Формулы — это поворот системы координат вокруг начала координат на ориентированный угол .
2 Алгебраические линии на плоскости.
Определение 2.1. Уравнением линией на плоскости называется множество решений уравнения . При этом если -— многочлен от двух переменных, то линия является алгебраической, а степень этого многочлена называется порядком линии. Таким образом, задать алгебраическую линию на плоскости — значит задать некоторое алгебраическое уравнение и некоторую аффинную систему координат ; тогда те и только те точки , координаты которых в данной системе координат удовлетворяют этому уравнению, считаются лежащими на линии. Однако с определением линии не все обстоит так просто, как кажется на первый взгляд. Множество всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению , совпадает с множеством точек, удовлетворяющих уравнению . Однако мы будем считать, что это различные линии. Таким образом мы приходим к следующему соглашению: два уравнения тогда и только тогда определяют одну и ту же линию, когда одно из этих уравнений получается из другого почленным умножением на некоторый числовой множитель Если на плоскости дана система координат , то левая часть уравнения определяет функцию от точки плоскости: каждой точке , имеющей в данной системе координат координаты , , соответствует число . Если мы перейдем к другой системе координат , то эта же точка , имевшая в системе координаты , получит в системе новые координаты , связанные со старыми координатами формулами преобразования координат (см. (1)). Для того чтобы вычислить значение того же числа через новые координаты точки , надо в многочлен вместо подставить выражения (1) этих переменных через ; от этого многочлен тождественно преобразуется в выражение от новых переменных . Координаты какой-либо точки в системе тогда и только тогда удовлетворяют уравнению , когда координаты той же точки в системе удовлетворяют уравнению . Справедлива следующая ТЕОРЕМА 2.1. Понятие алгебраической линии, а также порядок линии не зависит от выбора аффинной системы координат. Доказательство. Возьмем на плоскости аффинную систему координат . Пусть в этой системе координат линия определяется уравнением , где — многочлен степени . Зададим на плоскости другую аффинную систему координат . Координаты произвольной точки плоскости в системе выражаются через ее координаты в системе по формулам (1). Чтобы получить уравнение линии в системе , надо в уравнении заменить их выражениями по формулам (1). Получим уравнение . Поскольку есть сумма членов вида , то после замены получим, что есть сумма членов вида , то есть снова многочлен от переменных . Следовательно, понятие алгебраической линии не зависит от выбора аффинной системы координат. Докажем теперь, что — многочлен степени . Пусть — степень этого многочлена. Если в выражении раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получим сумму членов вида , где . Отсюда следует, что . Будем теперь считать, что - старая система координат, а — новая. Тогда по доказанному . Итак, и , cледовательно .