Задача 2

С помощью симплекс-метода найти решение следующей задачи (вариант 14) [3, стр. 37].

(20)

(21)

Приведем задачу к виду ОЗЛП. Так как целевую функцию по условию требуется максимизировать, то остается только обратить систему ограничений в систему равенств.

(22)

Перепишем систему уравнений (22) в векторной форме.

(23)

Векторы выражения (23) примут вид.

(24)

В отличие от первой задачи, где базис не собирался, в этой задаче возможны варианты. Пусть в качестве базисных выступают вектора P₇, P₈, P₉, при которых опорное решение имеет вид . Так как подробно процесс составления симплекс-таблиц был рассмотрен в первой задаче, в этой задаче ограничимся краткими пояснениями.

Составим симплекс-таблицу первой итерации.

Таблица 5

				60	70	80	0	0	0	0	0	0
i	Баз.	Сб	P0	P1	P2	P3	P4	P5	P6	P7	P8	P9
1	P7	0	400	1	2	3	3	1	0	1	0	0
2	P8	0	500	0	0	0	0	0	1	0	1	0
3	P9	0	200	0	1	0	0	0	0	0	0	1
4				-60	-70	-80	0	0	0	0	0	0

По строке 4 определяем разрешающий столбец P₃. В этом столбце может быть разрешающей только первая строка. Переходим к новому опорному решению.

Таблица 6

				60	70	80	0	0	0	0	0	0
i	Баз.	Сб	P0	P1	P2	P3	P4	P5	P6	P7	P8	P9
1	P3	80	400/3	1/3	2/3	1	1	1/3	0	1/3	0	0
2	P8	0	500	0	0	0	0	0	1	0	1	0
3	P9	0	200	0	1	0	0	0	0	0	0	1
4				-33,3	-16,7	0	80	26,7	0	26,7	0	0

Решение из таблицы 6 не оптимально, так как в 4-ой строке есть отрицательные элементы. В качестве разрешающего выбираем столбец P₁. Снова строка 1 является разрешающей. Переходим к новому опорному плану.

Таблица 7

				60	70	80	0	0	0	0	0	0
i	Баз.	Сб	P0	P1	P2	P3	P4	P5	P6	P7	P8	P9
1	P1	60	400	1	2	3	3	1	0	1	0	0
2	P8	0	500	0	0	0	0	0	1	0	1	0
3	P9	0	200	0	1	0	0	0	0	0	0	1
4				0	50	100	180	60	0	60	0	0

По строке 4 таблицы 7 мы делаем вывод, что достигли оптимального решения.

Оптимальное решение имеет вид .

Выпишем интересующие нас значения.

(25)

Целевая функция при таком решении будет равна

(26)

После подстановки система ограничений примет вид

(27)

Данное решение не противоречит системе ограничений.