3.2.2. Интегральная формула Коши.
Теорема 3. Пусть голоморфна в области G и Г – спрямляемая жорданова замкнутая кривая, целиком лежащая в G, тогда , лежащего внутри кривой Г:
(1)
Формула (1) называется интегральной формулой Коши.
Рассмотрим функцию по переменной (z – фиксированная точка лежащая внутри r ). Она аналитична в G\{z}. Рассмотрим круг и выберем настолько малым, что бы этот круг находился внутри Г. Рассмотрим двусвязную область с контуром . Для данной функции применим следствие из теоремы Коши. Тогда Поскольку аналитична в точке z, а следовательно и непрерывна в ней, то , такое что при имеем . Выберем , тогда . Но, как легко видеть , J – не зависит от ,
Поэтому последнее неравенство при любом возьмем лишь если J=0
Используя ИОТК можно доказать следующую теорему:
Теорема 4. Пусть функция аналитична в области G и непрерывна в , тогда (2)
G – односвязная область, ограниченная спрямляемой жордановой кривой.
Замечание 1. Интегральные формулы Коши (1) и (2) являются основными формулами в теории аналитических функций.
Замечание 2. Если область G является многосвязной, и Г – ее граница, то переходя к односвязной области и дословно повторяя рассуждения, проводимые с выше, получим:
(3).
4.1.4 Теорема Лиувилля о нулях аналитической функции.
Определение: Точка в которой аналитическая функция обращается в нуль, называется нулем аналитической функции.
Теорема: Всякая функция аналитическая в области G и отличная от константы, может иметь в этой области не более чем счетное число нулей.
В силу теоремы единственности нули аналитической функции не могут иметь предельных точек внутри области G (в противном случае ). Нули могут иметь предельную точку лишь на . Рассмотрим области . В силу предыдущего рассуждений имеется лишь конечное число нулей. Их множество обозначим через . Тогда множество P всех нулей функции
равно . Последнее множество счетно.
Определение: Если разложение аналитической функции в некоторой точке z=b отсутствуют первые m членов, т.е. разложение начинается с m-ой степени z-b, то говорят что точка z=b является нулем функции порядка m .
Теорема. Пусть . Тогда (z=b – нуль кратности m ) .
Доказательство вытекает из того, что степенной ряд для есть ее ряд Тейлора и, следовательно . Но тогда
ЛЕММА. (Неравенство Коши для коэффициентов Тейлора).
Пусть S(z) – сумма степенного ряда , радиус сходимости которого равен R>0. Тогда для коэффициентов Тейлора этого ряда имеет место неравенство: Если М>0 – такое число, что .
По формуле для коэффициентов Тейлора имеем:
, где . Переходя к примеру при , получим неравенство Коши.
Воспользуемся этой леммой для доказательства следующей теоремы Лиувилля.
Теоремы. Если некоторая функция аналитична во всей комплексной плоскости и ограничена на по модулю, то она есть постоянная функция.
Рассмотрим и разложим в окрестности этой точки в ряд Тейлора:
В силу условия теоремы оценка для коэффициентов справедлива при любых
Переходя при n=1,2,… к пределу при , получаем, что
Теорема (об аналитичности суммы степенного ряда). В круге сходимости {z| |z|<R} степенного ряда (1), его сумма S(z) является голоморфной функцией. При этом производную функции S можно вычислить почленным дифференцированием ряда(1), т.е. (2)
Замечание об аналитичности суммы ряда: . Сумма этого ряда определена в круге {z: |z|<1}, а аналитична также и всюду, кроме точки z=1.
Доказательство теоремы:
1. Покажем, что радиус сходимости ряда(2) совпадает с радиусом сходимости ряда(1) .
2. Далее, покажем, что S(z) является дифференцируемой.
Пусть - произвольная точка из круга сходимости, тогда существует точка . Поскольку при ряд(2) сходится абсолютно, то ряд сходится. Следовательно остаток ряда удовлетворяет неравенству (3). Тогда
= +
Из неравенства(3) следует, что последовательность сл. , а выражение, стоящее под знаком модуля, является непрерывной функцией и при стремящейся к 0. Поэтому нерв. сл. )…
Замечание для ряда(2) также выполняются все условия данной теоремы, поэтому применяя теорему к функции S’(z) получаем, что и т.д.
Т.о., сумма степенного ряда является функцией бесконечно дифференцируемой в круге сходимости и при этом -я производная этой функции находится путем -кратного дифференцирования ряда(1).
Теорема (теорема Лорана) Пусть функция аналитична в кольце (4)
Ряд (4) называется рядом Лорана, а разложение (4) – разложением Лорана: При этом , где n=…,-1,0,1,…, a - произвольная окружность с центром в точке , лежащая в кольце .
Рассмотрим кольцо , где . К этому кольцу применим ИТК для двусвязной области. Тогда ,
которое равномерно сходится по . Аналогично, . С учетом данных разложений, а так же возможности почленно интегрировать равномерно сходящийся ряд получаем:
По пути был осуществлен переход от это позволяет сделать ИТК.
Замечание. Перепишем ряд (4) в следующем виде:
- -главная часть ряда Лорана - - правильная часть ряда Лорана
Если главная часть отсутствует, то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора функции , при этом будет аналитична не только в кольце, но и в круге.
5.1.2.Основная теорема о вычетах.
Теорема 1. Пусть f аналитична в замкнутой односвязной области со спрямляемой границей за исключением конечного числа изолированных особых точек , целиком лежащих в G, тогда:
(1).
Т.к. G – открытое множество, то .
Обозначим через . В области функция является аналитической, тогда по интегральной теореме Коши для много связной области имеем:
Следствие. Пусть в расширенной комплексной плоскости имеет конечное число изолированных особых точек( ). Тогда .
Выберем центром в точке О и со столь большим радиусом, чтобы все конечные изолированные точки оказались внутри нее. Тогда .
С другой стороны, вычет . Складывая обе части равенства, имеем: .