45. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).

Тогда если :1) () = а, () = b, 2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ], 3) f((t)) определена на отрезке [,], то

Тогда

При замене переменной в опред.интеграле следует помнить о том, что вводимая функция д.б. непрерывна на отрезке интегрирования.

Пример.

Интегрир-е по частям. Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

47. Несобственные интегралы.

При введении понятия опред. интеграла предполагалось, что выполняются след. условия:1) Пределы a и b явл. конечными, 2)Подинтегральная ф-я явл. ограниченной на , в этом случае опред. интеграл наз-ют собственным. Если хотя бы одно из двух условий не вып-тся, то интеграл называют несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть ф-я непр. при любых . Рассм. опред. интеграл с переменным верхним пределом . Предположим, что при ф-я им.конечный предел, этот предел наз-ют сходящимся несобственным интегралом от ф-и по промежутку и обозначают

Если же этот предел не существует или = бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся. Геометрически несобственный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и , слева- прямой снизу - осью Ох. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом. Если несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами, то будем полагать , где с – любая точка .

Т.1. Если при выполнены след. нер-ва: и сходятся, то сходится и причём . Если же -расходится, то расходится и .

Т.2. Если в промежутке от ф-я меняет знак и сходится, тогда сходится .

Интегралы от неограниченных функций.

Если ф-я не ограничена в окрестности точки и непрерывна при , cxb, то несобственный интеграл , где t и k0

Несобственный интеграл от неограниченной ф-и наз=тся сходящимся, если существует конечный предел соотв-щего опред. интеграла. В противном случае собственный интеграл наз-тся расходящимся. Для интеграла от неограниченных ф-ий справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1,2. ( 1-сходится, 1-расходится).