§3. Решение задач теории игр в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, то у игроков нет единственной надежной стратегии. В этом случае используют смешанные стратегии (случайный выбор чистых стратегий с определенными вероятностями).

Определение 1. Смешанной стратегией игрока А называют множество , применяемых этим игроком в ходе игры чистых стратегий с вероятностями или частостями (х₁;х₂;…х_m), причем сумма всех вероятностей равна 1.

Определение 2. Смешанной стратегией игрока В называют множество , применяемых этим игроком в ходе игры чистых стратегий с вероятностями или частостями (y₁;y₂;…;y_n).

Задача первого игрока состоит в выборе такой стратегии , чтобы при отсутствии информации о выборе стратегии другим игроком, максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока - выбрать такую стратегию , чтобы при отсутствии информации о выборе стратегии первым игроком, минимизировать свой проигрыш.

Рассмотрим решение задачи в смешанных стратегиях при отсутствии седловой точки (платежная матрица размерности 2×2).

Составим систему уравнений для каждой переменной:

Задача Молочный комбинат «Ставропольский» планирует выпуск двух видов новой продукции: питьевой биойогурт и пудинг сливочный. Спрос на эти продукты не определен, но можно предположить, что он принимает одно из двух состояний: хороший и удовлетворительный. В зависимости от этих состояний прибыль комбината различна и определяется матрицей : .

Найти оптимальное соотношение между объемами выпуска каждого из продуктов, при котором комбинату гарантирована средняя прибыль при любом состоянии спроса.

Решение.

		у1	у2
	х1	3	5	3	3
	х2	4	2	2	—
		4	5
		4	—

Так как нижняя и верхняя цены игры не равны, то игра производится в смешанных стратегиях, седловой точки нет.

Решим игру в смешанных стратегиях. Пусть х₁ – вероятность применения 1-й стратегии 1-м игроком, х₂ – вероятность применения 2-й стратегии 1-м игроком. Тогда

- вероятность применения первым игроком первой стратегии;

- вероятность применения первым игроком второй стратегии;

Найдем цену игры

Аналогично для второго игрока:

Пусть у₁ – вероятность применения 1-й стратегии 2-м игроком, у₂ – вероятность применения 2-й стратегии 2-м игроком

Найдем цену игры .

Ответ: для комбината гарантирована средняя прибыль при производстве 50 % от всего товара продукта А и при производстве 50 % продукта В.