Наложение волн. Стоячие волны
При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение. При этом волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны при наложении подчиняются принципу суперпозиции.
Если две волны одной природы и одинаковой частоты, распространяющиеся вдоль одной прямой, приходят в какую-либо точку пространства, обладая постоянной разностью фаз, то такие волны называются когерентными.
Рассмотрим
практически важный случай, когда две
гармонические волны с одинаковой
частотой
и амплитудой
распространяются вдоль оси
в противоположных направлениях. Пусть
начальные фазы волн равны нулю. Запишем
уравнения этих волн:
,
Суперпозиция этих волн дает:
.
Преобразуем выражение, воспользовавшись тригонометрической формулой для суммы косинусов:
Учтём, что cos(–) = cos.
В итоге получим так называемое уравнение стоячей волны:
.
Также учтём, что
и
запишем.
(*)
В выражение для фазы не входит координата, поэтому можно переписать следующим образом.
Это амплитуда
стоячей волны.
В точках, где
координаты удовлетворяют условию:
,
а
мплитуда
колебаний равна максимальному значению.
Эти точки называются пучностями
стоячей волны. В пучности A
= 2A.
Координаты пучностей
В точках, где координаты удовлетворяют условию:
,
амплитуда колебаний равна нулю
(минимальному значению). Эти точки
называются узлами
стоячей волны. В узле A
= 0.
Координаты узлов
.
Точки среды, находящиеся в узлах колебаний не совершают.
Расстояние между
соседними узлами или пучностями равно
/2.
Пучности и узлы сдвинуты относительно
друг друга на /4.
Из уравнения стоячей волны в форме (*)
следует, что
при
переходе через нулевое значение меняет
знак, т.е. фазы колебаний по разные
стороны от узла отличаются на .
В стоячей волне в отличие от бегущей отсутствует перенос энергии, поскольку встречные бегущие волны одинаковой амплитуды переносят равную по величине энергию в противоположных направлениях. Энергия колебания между двумя узлами остается постоянной, совершается лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси . Именно поэтому такая волна называется стоячей.
Колебания струны
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причём в местах закрепления струны располагаются узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.
О
тсюда
вытекает следующее условие.
или
(n = 1, 2, 3, …),
l – длина струны. Длины волн соответствуют следующим частотам.
(n = 1, 2, 3, …).
Фазовая скорость волны определяется силой натяжения струны и массой единицы длины, т.е. линейной плотностью струны.
F
– сила натяжения струны, ρ'
– линейная плотность материала струны.
Частоты νn
называются собственными
частотами
струны. Собственные частоты являются
кратными частоте основного тона.
Эта частота
называется основной
частотой.
Гармонические колебания с такими частотами называются собственными или нормальными колебаниями. Их также называют гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.
Колебания струны примечательны в том отношении, что для них по классическим представлениям получаются дискретные значения одной из характеризующих колебания величин (частоты). Для классической физики такая дискретность является исключением. Для квантовых процессов дискретность является скорее правилом, чем исключением.