Определение

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками   Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее выберем произв. точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , т.е.

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

Задание:

Вычислить 

∫01x2ln(1+x)dx

Решение:

∫01x2ln(1+x)dx = ∫01ln(1+x)d(13x3)  =−∫0113x3d(ln(1+x))+13x3ln(1+x)∣∣∣10=−∫0113x31+xdx+13x3ln(1+x)∣∣∣10 = −∫0113x31+xdx+13ln(2)= 

−∫01(13−1311+x+13x2−13x)dx+13ln(2)

 =

13ln(2)−∫01(13+13x2−13x)dx−∫01(−1311+x)dx

 =  Вычислим каждый интеграл суммы 

∫01(−1311+x)dx

 = 

∫01(−1311+x)d(1+x)

 =

−13∫0111+xd(1+x)

 = 

(−13ln(|1+x|))∣∣∣10

 = 

−13ln(2)

∫01(13+13x2−13x)dx

 = 

(−16x2)∣∣∣10+19x3∣∣∣10+13x∣∣∣10

= 

518

Таким образом, сумма интегралов равна 

13ln(2)−∫01(13+13x2−13x)dx−∫01(−1311+x)dx

 =

−518+23ln(2)

Ответ:

∫01x2ln(1+x)dx=−518+23ln(2)

25. Основные свойства определенного интеграла. Условимся, что a < b.

Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство  . То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма   для любого разбиения промежутка [a; a] и любого выбора точек   равна нулю, так как  , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.

Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется  . Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b.

 для интегрируемых на отрезке [a; b] функций y = f(x) и y = g(x). Доказательство. Запишем интегральную сумму функции   для данного разбиения отрезка и данного выбора точек  :   где   и   - интегральные суммы функций y = f(x) и y = g(x) для данного разбиения отрезка соответственно. Переходя к пределу при   получим  , что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке [a; b] функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство . Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:

Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем   и  , тогда  . Это свойство справедливо как для  , так и для   или  . Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.

Если функция интегрируема на отрезке [a; b], то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке  . Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и   для любого значения аргумента  , то  . Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек   при   будет неотрицательной (не положительной). Следствие. Для интегрируемых на отрезке [a; b] функций y = f(x) и y = g(x) справедливы неравенства:   Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], тогда справедливо неравенство  . Доказательство. Очевидно, что  . В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо  . Это двойное неравенство можно записать как  .

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] и   для любого значения аргумента  , тогда  , где   и  . Доказательство проводится аналогично. Так как m и M – наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x) на отрезке [a; b], то  . Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x) приводит нас к следующему двойному неравенству  . Интегрируя его на отрезке [a; b], придем к доказываемому утверждению. Следствие. Если взять g(x) = 1, то неравенство примет вид  .

Первая формула среднего значения. Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b],   и  , тогда существует такое число  , что  . Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое число  , что  . Первая формула среднего значения в обобщенной форме. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b],   и  , а g(x) > 0 для любого значения аргумента  . Тогда существует такое число  , что  .

Вторая формула среднего значения. Если на отрезке [a; b] функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число  , что справедливо равенство  .

26. Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислениемпервообразной.

Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство  . Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.

27. ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить 

Положим t=2-х². Тогда dt=d(2-х²)=(2-х²)'dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0²=2, и если х=1, то t=2-1²=1. Следовательно:

28. Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла специального вида

.

   Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем

.

Интегрируя обе части этого соотношения на интервале [a, b] , имеем

,

или

.

Учитывая связь дифференциала с производной, окончательно получим

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

29. Криволине́йная трапе́ция — плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции  , определенной наотрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми   и  .

Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом.

Это значит, что площадь криволинейной трапеции можно найти по сумме значений функции   взятые через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от  до 

Можно сказать, что мы разбили криволинейную трапецию на бесконечное число прямоугольников, длина каждого из которых равна ординате функции   через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от   до  , а ширина - бесконечно малому значению х, нашли их площади произведением длины на ширину и сложили.Предел суммы их площадей равен площади криволинейной трапеции.

30. Геометрический смысл определенного интеграла. Последнее равенство означает, что определенный интеграл   для непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции. То есть, вычислив интеграл  , мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = 0, x = a и x = b. Замечание. Если функция y = f(x) неположительная на отрезке [a; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена как  .

31.  В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f ( x), а ≤ x ≤ b, объем тела вращения вычисляется по формуле

   Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S (x) = π ( f ( x ) )2. Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу

   Замечание. Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ φ (у), а ≤ у ≤ b вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле

33.Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция   определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10