- •1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
- •2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
- •3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
- •7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
- •8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
- •9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.
- •11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
- •12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .
- •13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.
- •14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
- •15. Частные производные (определение, способы вычисления).
- •16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
- •18. Полный дифференциал функции двух переменных.
- •19. Производные сложной функции.
- •20. Определение производной по направлению.
- •21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
- •22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
- •24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
- •25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
- •26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
- •27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
- •28. Таблица интегралов.
- •29. Свойства неопределенного интеграла.
- •30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
- •31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
- •33. Свойства определенного интеграла.
- •34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •35. Формула Ньютона-Лейбница.
- •36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
- •37. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •38. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
- •39. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
- •40. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решение. Начальные условия. Задачи Коши.
- •41. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
- •42. Однородные дифференциальные уравнения.
- •43. Линейные уравнения I-порядка.
30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
Методом подстановки называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный к табличному.
Этот метод основан на ТЕОРЕМЕ:
Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть множество Х – множество значений функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве Х функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула :
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - первообразная пусть , рассмотрим функцию и найдем её производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Таким образом функция является первообразной для , значит
Рассмотрим функцию
Подставим полученное выражение в равенство (*)
31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
ТЕОРЕМА. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция тоже имеет первообразную и справедлива формула:
или
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим и найдем (
Выразим второе слагаемое:
Проинтегрируем это равенство:
Полученная формула дает возможность свести вычисление интеграла от к вычислению интеграла от , который может оказаться существенно более простым чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей . После нахождения используется формула интегрирования по частям. Эту формулу можно использовать несколько раз при вычислении одного интеграла.
Некоторые интегралы, которые интегрируются по частям:
1) ; ; (u dv)
2) ; ( D u V)
3) ; ( u dv)
32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b].
1) Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками х0, х1…хn, где х0=a…xn=b.
2) В каждом отрезке выберем произвольную точку и посчитаем значение функции в этой точке.
3) Обозначим через =
4) Найдем произведение для всех .
5) Составим сумму всех этих произведений .
Полученная сумма называется интегральной суммой Римана для функции y=f(x) на [a;b].
Обозначим через λ- максимальный из отрезков,
если n→∞, то λ→0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел интегральной суммы при n→∞ или, что тоже самое, λ→0, то этот предел называется ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x) по отрезку [a;b] и обознается
I=
В этом случае числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
f(x) называется подынтегральной функцией.
f(x)dx - подынтегральным выражением
х - переменной интегрирования
[a;b] область интегрирования.
Функция, для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
(Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху y=f(x), снизу осью OX. Слева и справа отрезками прямых: x=a b x=b. (рисунок))
Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
ЗАМЕЧАНИЕ: Если фигура ограничена 2мя графиками функций сверху и снизу, то площадь вычисляется по формуле: