- •17.Производная разрывной функции и дельта-функции.
- •18.Решение статической задачи с непрерывно распределённой силой.
- •19.Функция Грина статической задачи для струны с (гу)1.
- •21.Различные формы записи общего решения некоторых оду.
- •20.Простейшие статические задачи для струны в упругой среде.
- •22.Статическая задача для струны в упругой среде с точечной силой.
- •23.Статическая задача для струны в упругой среде с непрерывно распределённой силой.
- •24. Метод разделения переменных для волнового уравнения колебаний и уравнения теплопроводности.
- •25. Простейшая задача Штурма-Лиувилля с (гу)1.
- •30.Элементарные решения учп и смешанная задача с простейшими ну.
- •31.Решение зшл с периодическими (гу) в экспоненциальной форме.
- •40.Метод ортогонализации Грама-Шмидта, специальные полиномы
- •58. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному ур-ию
- •62. Итерированные ядра и их спектры
- •64. Собственные значения итерированного ядра и исходного ядра
- •59. Простейшие свойства сиу
- •60. Конечность спектра симметричного интегрального уравнения с вырожденным ядром
- •61. Вырожденность ядра с конечным спектром
- •63. Корни n-ой степени из комплексного числа и их свойства
23.Статическая задача для струны в упругой среде с непрерывно распределённой силой.
(ОДУ)-U’’(x)+β2U(x)=F(x)/T; (ГУ)1
U(x)=C1U1(x)+ C2U2(x) – решение однород ОДУ
Нам надо решить неоднород ур-ние. Используем для решения метод вариации:
U(x)=C1(x)U1(x)+ C2(x)U2(x);
;
;
;
;
- вронскиант
; ;
;
Для определения С1 иС2 нужны еще условия.
U(x)=C1(x)U1(x)+ C2(x)U2(x);
;
U(x)= - ответ статистич задачи
24. Метод разделения переменных для волнового уравнения колебаний и уравнения теплопроводности.
Расс. ур-ние колебаний струны: (t,x)= ;
U(t,x)=T(t)X(x) => (t,x)= (t)X(x); U”(t,x)=T(t)X”(x)
Подставляем то что у нас получилось в первоначальное ур-ние и получаем: (t)X(x)=
Разделим это ур-ние на T(t) и X(x):
= ; => X”(x)= X(x);
Переменные отделились друг отдруга.
Если нам надо ур-ние теплопроводности: то действуя точно также получили теже ответы: - ур-ние с постоянными коэф-тами. Это ур-ние можно решить методом Эйлера.
T(t)=c ; U(t,x0)= c
λ>0 – нет физ смысла, λ<0 – есть физ смысл
(ГУ)1
25. Простейшая задача Штурма-Лиувилля с (гу)1.
(ОДУ) X(x); (ГУ)1 X(0)=0, X(l)=0 – это и есть ЗШЛ
Необходимо рассм 3 случaя:
1. >0, = .
X”(x)= X(x); X(x)=Ach ᴂx+Bsh ᴂx;
X(0)=A*1+B*0=A=0, X(l)=Bshᴂl=0
b=0 , если λ>0 X(x) только тривиальное решение имеет возможность решения.
2. λ=0.
X”(x)=0; X(x)=A+Bx
Из (ГУ)=>a,b=0 ; X(x) т.е. только тривиальное решение.
3.
X”(x) = ; X(x)= ;
; => , ;
X1(x)= , X2(x)=
ОР строится как лин комбинация с пост коэф: X(x)=c1 +c2
Удобно использовать ф-лу Эйлера: , :
Если подставить формулу Эйлера в общее решение и считать что с1+с2=А; ,то получим общее решения для случая 3:
X(x)=Acoskx=Bsinkx
X(0)=А=0, X(l)= Bsink l= 0
B=0 либо sink l= 0 ; kl= => ; n – целое
Xn(x)=Bn - решение ЗШЛ
Только при таких значениях λ ЗШл имеет решение. Эти значения наз СЗ ЗШЛ с ГУ-1. Соотв им решения наз СФ ЗШЛ.
26. Элементарные решения уравнений в ЧП.
(УЧП) (t,x)= (ГУ) U(t,0)=0, U(t,l)=0
T(t)= -временная зависимость.
Un(t,x)=Tn(t)Xn(x)=[ B
n=0,1,2,3…
Т.о. вспомогательная задача имеет бесконечное множество решений. Такие решения будем наз элементарными.
В случае ур-ния теплопроводности элементарными решениями были бы: Un(t,x)= Bn ;
– основная частота (основной тон). Высшие частоты наз обертоны.
30.Элементарные решения учп и смешанная задача с простейшими ну.
(УЧП) (ГУ)1 U(t,0)=0, U(t,l)=0; (НУ) U(0,x)=U0(x)
Решением явл ф-ция вида:
Un(t,x)=Tn(t)Xn(x)= .
U(t,x)= - лин комбинация так же явл решением
;
(
j ;
Умножим на ф-цию Xm:
=
ГУ-1
U(t,x)=
ГУ-2 ……
-метод разделения переменных ( закон Фурье).