12. Параметрическое уравнение гиперболы

x=a ch(t)

y=b sh(t)

a²ch²(t)/a²-b²ch²(t)/b²=1, ch²(t)-sh²(t)=1 – основное гиперболическое тождество

В этой записи x≥a, поэтому эти параметрические уравнения описывают правую ветвь гиперболы. Левую ветвь описывает система:

x=-a ch(t)

y=b sh(t)

13. Сопряженная гипербола; связь между параметрами

Уравнение сопряженной гиперболы:

-x²/a²+y²/b²=1

Фокусы гиперболы располагаются на мнимой оси. (рисунок)

c²=a²+b²

E=c/b, E=√(1+(a/b)²), a/b=√(E²-1)

y=±b/a *x – уравнение асимптот сопряженной гиперболы.

14. Определение и вывод канонического уравнения параболы. Параметры параболы

Параболой называют множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Для вывода канонического уравнения параболы нужно построить специальную систему координат:

1. построить прямую, проходящую через F перпендикулярно директрисе и направить её от директрисы к F.

2. OF=P/2. P - параметр параболы, O – начало координат.

Точка фокуса параболы имеет координаты F (p/2, 0).

Уравнение директрисы: x=-p/2.

Точка M (x, y) принадлежит параболе, если расстояние d1 от директрисы до точки M равно расстоянию d2 от фокуса до точки M.

d1=x+p/2, d2=√((x-p/2)²+y²)

(x+p/2)²=(x-p/2)²+y²

x²-px+p²/4+y²=x²+px+p²/4

y²=2px – каноническое уравнение параболы. Число 2P называют раствор параболы.

Очевидно, если (x0, y0) принадлежит параболе, то и (x0, -y0), симметричная ей относительно оси Ox, так же принадлежит параболе.

Поэтому парабола имеет одну ось симметрии (Ox), одну вершину – О, один фокус F (p/2, 0) и одну директрису - x=-p/2.

Параметрических уравнений у параболы нет.

15. Оптическое свойство параболы

Пусть из фокуса луч выпущен на параболу. Отраженный луч пройдет параллельно оси Ох.

Если из фокуса на параболу выпущен пучок лучей, то они отразятся и пройдут параллельно Ох. Если на параболу направить пучок лучей, то после отражения они попадут в точку фокуса.

Первый факт используется в осветительных приборах.

(рисунок)

16. Параллельный перенос системы координат

Пусть в пространстве дана система координат XYZ и другая система координат X1Y1Z1 с соответственно параллельными и одинаково направленными осями. Пусть дана точка M (x, y, z) в данной системе координат и (x1, y1, z1) в новой. О (x0, y0, z0) – начало координат в старой системе.

Построим векторы ОМ, О1М и ОО1. Координаты точки М являются проекциями её радиус вектора, поэтому вектор ОМ совпадает с координатами в старой системе. ОО1 совпадает с координатами О1 в старой системе координат. Заметим, что проекции вектора на параллельные и одинаково направленные оси равны.

ОО1 + О1М=OM, значит это векторное равенство равносильно трем скалярным для одноименных координат:

х0+х1=х

у0+у1=у

z0+z1=z

Найдем старые координаты через новые:

х=х0+х1 х1=х-х0

у=у0+у1 => у1=у-у0

z=z0+z1 z1=z-z0

17. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть уравнение кривой второго порядка не содержит, А²+С²>0

Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0

Выделяя полные квадраты, приведем его либо к уравнению одного из следующих видов:

(x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=1

(x-x0)²/a²-(y-y0)²/b²=1

-(x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=1

(y-y0)²=±2p(x-x0)

(x-x0)²=±2p(y-y0)

Или будет какой-нибудь частный случай.

Введем новую систему координат:

x1=x-x0

y1=y-y0

O1 (x0, y0)

И получим систему с центром в точке O1. Тогда в новой системе координат уравнение кривой будет каноническим.