- •Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (тусур)
- •Отчет по учебной практике
- •Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (тусур) задание на вычислительную практику
- •Содержание:
- •1.Введение.
- •2.Назначение и применение.
- •3.Техническая часть.
- •3.1.Теоритический анализ задач.
- •3.3.Описание основных алгоритмов.
- •4.Руководство пользователя.
- •4 .1.Интерфейс программы.
- •4.2.Работа с программой.
- •5.Заключение.
- •6.Список используемой литературы.
- •7.Приложения.
2.Назначение и применение.
Пользователь
Ввод
матричных данных
Обработка
программой
Вывод:
Подробное решение и ответ к задаче.
3.Техническая часть.
3.1.Теоритический анализ задач.
Для начала дадим понятия матрицы:
Матрицей называется любая прямоугольная таблица чисел. Произвольную матрицу можно записать в виде [1] :
(3.1)
Определитель матрицы:
Определителем, или детерминантом, квадратной матрицы порядка n называется алгебраическая сумма n! всех возможных различных произведений её элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и из каждого столбца, в которой каждое произведение умножается на , где s — число инверсий в перестановке номеров строк, в которые входят сомножители, а t — число инверсий в перестановке из номеров столбцов [1].
(3.2)
В программе я использовал метод Гаусса: произвольную матрицу можно привести к ступенчатому виду (Верхнетреугольная матрица), используя лишь две следующие операции над матрицей — перестановку двух строк и добавление к одной из строк матрицы другой строки, умноженной на произвольное число. Из свойств определителя следует, что вторая операция не изменяет определителя матрицы, а первая лишь меняет его знак на противоположный. Определитель матрицы, приведённой к ступенчатому виду, равен произведению элементов на её диагонали, так как она является треугольной, поэтому определитель исходной матрицы равен:
(3.3)
где — число перестановок строк, выполненных алгоритмом, а — ступенчатая форма матрицы , полученная в результате работы алгоритма [3].
Обратная матрица:
Матрица называется обратной к заданной квадратной матрице A, если:
Только невырожденные матрицы могут иметь обратные: .
Элементы обратной матрицы находятся следующим образом:
Системы решения линейных уравнений:
Система m линейных уравнений с n неизвестными может быть
записана в виде:
(3.4)
где
Решение системы в случае:
m = n, D = det A ≠ 0
Матричный метод:
Систему запишем в форме:
AX = B
По условию задачи матрица A невырожденная, а поэтому существует единственная обратная матрица В итоге получаем:
Решение системы в случае:
m < n
Преобразуем расширенную матрицу к ступенчатому виду, из полученной матрицы составляем систему и выражаем уравнения, начиная с последней строки; чаще всего система имеет неопределённое количество решений в виду появления свободных переменных.
Решение системы в случае:
m < n
Если матрица сводится к виду m = n, то матрица совместна, иначе матрица не совместна – соответсвенно решений нет.
3.3.Описание основных алгоритмов.
1. Алгоритм проверки матрицы, является ли она ступенчатая:
(3.5)
Для проверки проходим по элементам матрицы ниже главной диагонали, т.е:
(3.6)
Если все , где i = 2..m, j = 1..i – равны нулю, значит матрица является ступенчатой.
2. Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (Алгоритм Евклида).
Алгоритм Евклида: Даны два целых неотрицательных числа и . Требуется найти их наибольший общий делитель, т.е. наибольшее число, которое является делителем одновременно и , и . На английском языке "наибольший общий делитель" пишется "greatest common divisor", и распространённым его обозначением является :
(здесь символом " " обозначена делимость, т.е. " " обозначает " делит ")
Когда одно из чисел равно нулю, а другое отлично от нуля, их наибольшим общим делителем, согласно определению, будет это второе число. Когда оба числа равны нулю, результат не определён (подойдёт любое бесконечно большое число), мы положим в этом случае наибольший общий делитель равным нулю. Поэтому можно говорить о таком правиле: если одно из чисел равно нулю, то их наибольший общий делитель равен второму числу [2].
3. Алгоритм нахождения детерминант матрицы (Метод Гаусса):
Для реализации нахождения детерминанта по методу Гаусса, необходимо преобразовать матрицу (3.5) к ступенчатому виду (3.6).
Проделав ряд тривиальных операций, матрица должна иметь вид:
(3.7)
После преобразования, элементы главной диагонали перемножаем, это и есть детерминант матрицы (3.5)