Нормальные и касательные напряжения в балках

Нормальные и касательные напряжения в балках зачастую действуют одновременно, и поэтому потерять устойчивость можно от их совместного действия. И тогда, критическое напряжение уменьшается при совместном действии нормальных и касательных напряжений, в отличие от действия одного из напряжений.

Ниже приведены случаи проверки устойчивости стенок балок.

• Нахождение устойчивости стенок балок симметричного сечения, которые зафиксированы поперечными ребрами жесткости при наличии местного напряжения (δм не равно 0).

В этом случае проверку устойчивости стенки балки нужно проводить, если существует условие, которое определяется формулой

h₀/δ ≥ 80√21/R. (1)

Сама же проверка происходит по формуле

√(σ/σ₀ + σ_м/σ_м,0)² + (τ/τ₀)² ≤ m, (2)

где m - коэффициент условий работы; для подкрановых балок он равен 0,9, для прочих балок - 1.

К нормальным и касательным напряжениям σ и τ и критического касательного напряжения τ₀ значения подбираются по формуле

√(σ/σ₀)² + (τ/τ₀)² ≤ 1, (3)

а местное напряжение σ_м - по формуле

σ_м = P/δz ≤ R. (4)

Рис. 1. Потеря устойчивости стенкой балки от действия местного давления

Потеря устойчивости от действия местных напряжений схожа с потерей устойчивости от действия нормальных напряжений(рис. 1), а потому значение критического местного напряжения (кН/см²) определяют по формуле

σ_м,о = 10k₁ (100δ/ а)², (5)

где а - расстояние между осями поперечных ребер; k₁ - коэффициент, зависящий от соотношения сторон рассматриваемого отсека стенки a/h_o и от степени защемления стенки в поясах γ.

При частом расположении ребер, при а/h₀ ≤ 0,8, стенка между ребрами может выпучиваться только по одной полуволне (рис. 1). При более редком расположении ребер жесткости при а/h_о > 0,8, возможны две формы выпучивания стенки балки: одна - при большем значении σ_м, которая имеет одну полуволну по длине пластинки, с отношением сторон а/h₀, и другая - при меньшем значении σ_м, которая имеет две полуволны, с отношением сторон а/2: h₀.

• Нахождение устойчивости стенок балок симметричного сечения, которые зафиксированы одним продольным и поперечными ребрами жесткости.

Для создания устойчивости стенки, в больших балках с тонкой стенкой при соотношении h₀/δ > 160 √21/R, правильнее ставить не только поперечные ребра жесткости, но продольное ребро, которое опирается на поперечные и располагается на расстоянии b₁ = (0,2 -0,3) h₀ от сжатой кромки отсека. Это ребро, так же как и поперечные ребра, состоит, из двух ребер, которые располагаются по обе стороны стенки. Продольное ребро ставят обычно в средних отсеках балки, в зоне больших значений изгибающих моментов и соответственно больших нормальных напряжений. Размеры ребер определяются от их момента инерции, которые удовлетворяют формулам:

J_{поперечн•р} ≥ 3h₀δ³;

J_{продольн•р} ≥ 1,5h₀δ³. (6)

Продольное ребро разделяет стенку на верхнюю и нижнюю пластинки, устойчивость которых проверяется раздельно.

Верхняя пластинка, располагается между продольным ребром и сжатым поясом, находится в условиях неравномерного сжатия и проверяется по формуле

σ/σ₀₁ + σ_м/σ_м01 + (τ/τ₀₁)² ≤ m, (7)

где σ, σ_м, τ и m - определяют также, как и для формулы (2).

Нижняя пластинка, располагается между продольным ребром и растянутым поясом, находится в условиях неравномерного растяжения, и для нее граничная кривая устойчивой и неустойчивой областей используется по формуле

(8)

• Нахождение устойчивости стенок балок симметричного сечения, которые зафиксированы только поперечными ребрами жесткости при отсутствии местного сминающего стенку напряжения.

Такая проверка производится при

h₀/δ ≥ 110√21/R. (9)

Фактические напряжения σ и τ не должны быть выше критических для безопасности, т. е. σ ≤ σ^τ_кр и τ ≤ τ^σ_кр. Руководствуясь этим, находим формулу проверки устойчивости стенки:

√(σ/σ₀)² + (τ/τ₀) ≤ 1, (10)

где σ_о и τ_o - значения критических нормальных и касательных напряжений при их раздельном действии; σ = (M/W_бp) • (h_ст/h_б) - краевое сжимающее напряжение, определяемое по сечению брутто, без введения коэффициента φ_б в сечениях; τ = Q/h_стδ - среднее касательное напряжение в стенке, вычисляемое в том же сечении. В случае если в пределах рассматриваемого отсека расположено место изменения сечения балки, проверка устойчивости стенки производится для этого места по нормальным и касательным напряжениям, вычисленным для уменьшенного сечения.

 Закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим - свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 2.8). До нагружения стержня его длина равнялась   - после нагружения она стала равной   (рис. 2.8). Величину   называют абсолютным удлинением стержня.

                                                    Рис. 2.8

 

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация   остается одной и той же по длине стержня и равной

.                                                                                                                                            (2.4)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.8). При растяжении он увеличит свою длину на величину   и его деформация составит:

.                                                                                                                                        (2.5)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации  ):

.                                                                                                                                           (2.6)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Из совместного рассмотрения уравнений (2.5) и (2.6) получим:

,

откуда с учетом того, что

 и  ,

окончательно получим:

.                                                                                                                                (2.7)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.7) получим

.                                                                                                                                       (2.8)

Зависимость (2.8) также выражает закон Гука. Знаменатель EA называется жесткостью при растяжении - сжатии или продольной жесткостью.

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

,                                                                                                                                   (2.9)

где    коэффициент температурного расширения материала; t пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

.             

Коэффициент Пуассона характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (то есть длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз изменяется поперечное сечение деформируемого тела при его растяжении или сжатии. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно упругого — 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он примерно равен 0,5. (Измеряется в относительных единицах

Силовой и температурной деформаций не нашел бля на х