- •1. Теорема о связи первообразных одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла.
- •2. Взаимная обратность операций интегрирования и дифференцирования. Свойство линейности неопределенного интеграла.
- •3. Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и нахождении длины пути по известной скорости.
- •4. Определение определенного интеграла. Теорема существования (формулировка). Геометрический и механический смысл интеграла.
- •5. Свойства определенного интеграла.
- •10. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.
- •11. Длина дуги кривой. Вычисление длины дуги графика функции.
- •12. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически и в полярной системе координат.
- •13. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла по известным площадям поперечных сечений.
- •14. Вычисление массы, статических моментов и координат центра тяжести неоднородной материальной нити.
- •15. Вычисление массы, статических моментов и координат центра тяжести однородной материальной пластины.
- •16. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Определение и формула Ньютона-Лейбница. Исследование сходимости интегралов
- •Что такое дифференциальное уравнение и его решение ? Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (задача о радиоактивном распаде и задача о колебании груза напружине).
- •Задача Коши и теорема Коши (формулировка) для дифференциального уравнения первого порядка. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Задача Коши и теорема Коши для дифференциального уравнения порядка n (формулировка). Общее решение дифференциального уравнения.
- •Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения (второго поряка). Линейность пространства решений однородного уравнения.
- •Линейная зависимость и определитель Вронского.
- •11. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
- •12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Вывод характеристического уравнения. Общее решение в случае действительных различных корней.
- •13. Лоду с постоянными коэффициентами второго порядка. Фундаментальная система решений в случае совпадающих действительных корней и в случае комплексных корней характеристического уравнения
- •14. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов (формулировка).
- •1. Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и изображения. Изображения для единичной функции (Хевисайда) и показательной функции.
- •Общая схема решения линейных дифференциальных уравнений операционным методом.
4. Определение определенного интеграла. Теорема существования (формулировка). Геометрический и механический смысл интеграла.
О пределённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] , или в пределах от a до b, называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю:
Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.
Геометрически интегральная сумма представляет из себя площадь ступенчатой фигуры, сост-щей из прямоугольников, в основании которых лежат отрезки ∆xi, а высоты равны f(ci), если f(x)≥0
С позиции механики неопределенный интеграл от скорости прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее пути с точностью до С, а неопределенный интеграл от ускорения прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее скорости с точностью до С.
5. Свойства определенного интеграла.
1)Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке
2) Для любых a, b и c
3) Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A
4) Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.
5) Если f (x) ≥ g (x), то В частности, если f (x) ≥ 0, то
6) Если f (x) ≥ 0 для любого и существует такое, что причем f (x) непрерывна в x0 то
6. Теорема (Барроу) о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу.
Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а,b], то функция
имеет прозводную и , т. е. функция S(x) является первообразной для f (х).
7. Формула Ньютона-Лейбница.
Если функция f(х) непрерывна на [а; b] и F(х) — её первообразная, то
Это и. есть формула Ньютона-Лейбница. Она является следствием основной теоремы дифференциального и интегрального исчисления (теоремы Барроу- см п. 6)
8. Замена переменных в определенном интеграле.
Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], а функция
x= φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], причем φ(α)=а, φ(β)=b, и значения функции φ(t) не выходят за пределы отрезка [a;b], когда t €[α;β]. Тогда
9. Интегрирование по частям для неопределенного и определенного интегралов
Формула интегрирования по частям для неопред. Интегр. имеет вид
где и = и(х) и v=v(x) — дифференцируемые функции. Эта формула позволяет свести вычисление интеграла ∫udv к вычислению интеграла ∫vdu, который может оказаться проще. Для применения формулы к вычислению интеграла ∫f(x)dx мы разбиваем подынтегральное выражение ∫f(x)dx на две части и и dv. Затем находим du=u’dx и v=∫dv и применяем формулу/
Методом интегрирования по частям вычисляют следующие типы интегралов:
А) ∫P(x) * eaxdx, ∫P(x) *cosbxdx, ∫P(x) *sinbxdx, где Р(x) — некоторый многочлен. В этом случае берут и = Р(х), тогда du=P’(x)dx, а степень многочлена Р'(х) меньше, чем у P(x)/
B) ∫P(x) * lnxdx, ∫P(x) *arccosβxdx, , ∫P(x) *arcsinβxdx, ∫P(x) *arctgxdx, ∫P(x) *arcctgxdx, в этих случаях берут u= lnx, соответственно u=arcos βx и.т.д.
Тогда du= - βdx/√1-( βx)2
Для опред. Интегр. Если функция u= u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то