38. Вероятностный анализ автоматических систем методом статистических испытаний
Универсальным методом вероятностного анализа автоматических систем являются статистические испытания.
Метод статистических испытаний (называемый также методом Монте-Карло) применим к любым автоматическим системам. Испытаниям подвергается сама система или ее математическая модель.
Суть метода состоит в многократном воспроизведении исследуемого процесса и наборе статистического материала (реализаций случайных величин или функций) для последующего определения вероятностных характеристик процесса по формулам математической статистики.
Для реализации метода статистических испытаний необходимо иметь образец системы или ее математическую модель, а также устройство, воспроизводящее случайные возмущения и начальные условия.
Необходимо создать модели случайных процессов (возмущений) с заданными вероятностными характеристиками.
При исследовании реальных образцов используют различные генераторы возмущений с необходимыми частотными характеристиками. При моделировании автоматических систем на ЦВМ случайные возмущения с заданными вероятностными характеристиками реализуются с помощью специальных вычислительных алгоритмов.
В результате
-кратных
испытаний при случайных начальных
условиях и случайных возмущениях
получается
реализаций исследуемого процесса.
На основании полученной статистической выборки путем статистической обработки могут быть получены оценки функций распределения, математические ожидания, дисперсии, корреляционные моменты.
Наиболее простые вероятностные характеристики, применяемые в инженерных расчетах точности системы, математическое ожидание и дисперсия выходной переменной, определяются следующими формулами математической статистики:
(1)
(2)
N
–число испытаний (объем выборки);
–оценка математического ожидания;
– оценка дисперсии переменной
в
момент времени
.
Оценки, получаемые по формулам (1), (2)
являются случайными величинами при
заданном
и конечном
.
Разброс (точность) получаемых результатов можно оценить средними квадратическими отклонениями. Из теории вероятностей известно
;
(3)
где
– истинное значение средних квадратических
отклонений исследуемой переменной
.
Подставляя в (3)
вместо
ее оценку
,
получаем приближенные формулы
;
Полагая ошибки
оценки гауссовыми, можно получить
формулы для доверительных вероятностей
и
(надежности результатов).
где
;
;
Величины
и
характеризуют относительную точность
определения оцениваемых параметров.
На основании приведенных формул
математической статистики можно оценить
необходимое число опытов
для получения оценок с заданной точностью
и
и достоверностью
и
.
(Таблица1 и 2).
При реализации метода статистических испытаний с ростом требований к точности и надежности получаемых результатов резко возрастает необходимое число испытаний.
Число испытаний
для определения
:
|
0.2 |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.01 |
0.6 |
18 |
31 |
70 |
281 |
7000 |
0.7 |
27 |
47 |
108 |
431 |
10800 |
0.8 |
41 |
73 |
164 |
651 |
16400 |
0.9 |
68 |
121 |
272 |
1090 |
27200 |
Число испытаний
для определения
(или
):
|
0.2 |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.01 |
0.6 |
37 |
63 |
141 |
563 |
14000 |
0.7 |
55 |
95 |
217 |
863 |
21600 |
0.8 |
83 |
147 |
239 |
1300 |
32800 |
0.9 |
137 |
243 |
545 |
2180 |
54400 |
Метод статистических испытаний в силу практической ограниченности числа испытаний также является приближенным.
Для получения высокой точности при большой надежности требуется большое число испытаний, что при все более возрастающих возможностям современных ЭВМ является реальным.