19.Вычисление двойного интеграла в декартовых системах координат:

Пусть область D - правильная в отношении оси Ох 

Тогда в этом случае область D может быть задана одной системой неравенств:

Если существует двойной интеграл (это возможно, например, если f(x; y) непрерывна на D), то его можно вычислить через повторный кратный интеграл так:  При этом внутренний интеграл по у находится при постоянном х.

20.Замена переменных в двойном интеграле. Если функция f(x, y) непрерывна и интегрируема на V и F : U ® V - замена переменных, то функция f(x(u, v), y(u, v)) интегрируема на U и имеет место формула

Формула замены переменных в двойном интеграле - это одна из наиболее важных формул в теории двойного интеграла.

21. Криволинейным интегралом по координатам от функций X(x,y)  и Y(x,y) по плоской кривой L от точки M к точке N называют предел ,  где точки M_i(x_i,y_i) – точки, которые разбивают участок кривой L от точки M до точки N на n частей, а   и   – приращения соответствующих координат при переходе от точки M_i(x_i,y_i) к точке  . Криволинейный интеграл II рода обозначают:  или  Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если   на Г, то

4.

.

Теорема 1 (существование криволинейного интеграла II рода)Если вектор-функция непрерывна на дуге AB гладкой кривой l, то криволинейный интеграл II рода существует. Замечание 1. Если вектор-функция задана на дуге AB гладкой кривой , то криволинейный интеграл II рода записывается следующим образом:

22. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

1. При явном задании кривой К уравнением     криволинейный интеграл вычисляется по формуле

т.е. криволинейный интеграл преобразуется в обыкновенный по х.

2. При параметрическом задании кривой К уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где  , формула для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода имеет вид

3. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода по пространственной кривой K; если кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где  , проводится по формуле

23. Формула Остроградского – Грина   устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

24. Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.

Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.

До конца этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество, а функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными  ,  .

Лемма. Для того, чтобы интеграл

 

( A, B – любые точки из D ) не зависел от пути интегрирования ( а только от начальной и конечной точек A, B ) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю

=0.

25. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (l) на элементарные части, ни от выбора на них точек  , то он называется криволинейным интегралом I рода от функции  f (x, y, z) по линии l:                             

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если   в одной точке, то

3. Монотонность: если   на  , то

4. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:  .

Вычисление

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по  :  .