2)Признаки подобия треугольников.

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.Первый признак :Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. Второй признак:Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны. Третий признак:Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны. Свойства подобных треугольников :1)Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия 2)Отношение объёма подобных стереометрических фигур равно кубу коэффициента подобия 3)Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Подобие в прямоугольном треугольнике:Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:1)Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, 2)Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

3. Теорема о сумме внутренних углов треугольника; сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.

Теорема о сумме углов треугольника утверждает что сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана. Следствия:Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольникаПусть A1A2...An — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: A1A3,A1A4,A1A5...A1An − 1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника: ΔA1A2A3,ΔA1A3A4,...,ΔA1An − 1An. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана.

4 . Теорема косинусов для треугольника. 5. Теорема синусов для треугольника.

м

6. Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть CD —биссектриса треугольника ABC (рис. ). Построим

BE || CD. Тогда угол ACD = углу AEB и угол BCD = углу CBE, а так как угол ACD= углу BCD, то угол AEB = углу CBE и поэтому BC = CE. По теореме Фалеса AD/DB = AC/CE , т. е.AD/DB = AC/BC , что и требовалось доказать.

7. Определение касательной к окружности, ее свойство и признак.

Дано:Окружность с центром в точке О радиуса r.Прямая, которая не проходит через центр О. Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s.Возможны три случая:1) s: Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности. 2) s=r: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.3) s>r: Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойства касательной: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касанияm – касательная к окружности с центром О .М – точка касания.OM – радиус.Признак касательной: если прямая проходит через конец радиуса, лешащей на окружности и перпендикулярна радиусу, то она является касательной.Свойство касательных проходящих через одну точку:Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.По свойству касательной АВО, АСО–прямоугольные.АВО=АСО–по гипотенузе и катету:ОА – общая,ОВ=ОС – радиусы.АВ=АС.

8. Теоремы об измерении вписанного угла; угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания.

У гол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным.Угол АВС — вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (черт. 330).

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,—прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (черт. 334, б).

2. Угол, образованный касательной и хордой.

Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами.

9. Теорема о пересекающихся хордах окружности.

П ри пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

угол BAD = углу BCD = 1/2 BmD=> треуг. APD = треуг. CPD (по двум углам)PD/PB = AP/CP. доказано.

Хорда в планиметрии — отрезок прямой линии, соединяющей две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы).Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегмент, а отрезок кривой между крайними точками хорды называется дугой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметр. Диаметр — это самая длинная хорда в окружности.Свойства хор:1)Хорды являются равноотстоящими от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине.2)Перпендикуляр с середины хорды окружности проходит через центр этой окружности.3)Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.4)Дуги, заключенные между равными хордами, равны.5)При пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.