66. Метод Гаусса.

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пусть у нас есть система N линейных уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... a_1Nx_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... a_2Nx_N = b2

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... a_3Nx_N = b₃

...

a_N1x₁ + a_N2x₂ + a_N3x₃ + ... a_NNx_N = b_N

где x_i - неизвестные, a_ij - коэффициенты при неизвестных, b_i - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.

Цель задачи - зная a_ij и b_i найти x_i.

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... a_1Nx_N = b₁

a_22x2 + a₂₃x₃ + ... a_2Nx_N = b₂

a₃₃x₃ + ... a_3Nx_N = b₃

...

... a_NNx_N = b_N

Особенность этой системы - в строках с номером i все коэффициенты a_ij при j<i равны нулю.

67. Теорема Крамера.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x_i = D_i/D, где D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

1. Нахождение главного детерминанта

2. Нахождение вспомогательных определителей (замена i столбца на свободные члены)

3. x_i = D_i/D

68. Понятие координаты геометрической точки. Аффинная система координат на плоскости. Декартова система координат.

Координаты геометрической точки – это числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости или в пространстве.

Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат в аффинном пространстве. В n-мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O.

Декартова система координат – прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. На плоскости задается точкой О (начало координат) и и упорядоченной парой приложенных к ней неколлинеарных векторов e₁ и e₂. А в пространстве аналогически, только трех некомпланарных векторов. (х – абсцисса, у - ордината)

69. Линия на плоскости. Уравнение линии на плоскости.

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.

Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Общее уравнение прямой с нормальным вектором n={A,B} и прохо-

дящей через точку М₀(x₀;y₀) A(x-x₀)+B(y-y₀)=0.