40. Основные элементарные функции комплексных переменных.

Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называют основными элементарными функциями:

1. Дробно-рациональная функция

a) az+b, (а  0, а, b C) – линейная функция;

б) zⁿ , n N;– степенная функция с натуральным показателем;

в)  – дробно-линейная функция;

г) функция Жуковского  .

2. Показательная функция:

Наряду с введенным обозначением для показательной функции используют обозначение exp z.

Заметим, что на вещественной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Непосредственная проверка убеждает, что на показательную функцию комплексного переменного переносится теорема сложения

Показательная функция комплексного переменного является периодической функцией с основным периодом 2i, т. е.

.

3. Тригонометрические функции:

Для тригонометрических функций сохраняются теоремы сложения, а следовательно, и остальные формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного переменного. Они являются периодическими функциями с теми же периодами, что и соответствующие тригонометрические функции действительного переменного.

Однако в случае комплексного переменного функции sinz, cosz ограниченными не являются.

4. Гиперболические функции:

 

5. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция Lnz, при z  определяется как обратная к показательной функции, причем

Так как показательная функция – периодическая с периодом 2i, то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке z  она принимает бесконечно много значений.

Функция

где arg z – главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак,

Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно: при z₁ и z₂, отличных от нуля, верны формулы

6. Общая степенная функция:

, a C.

Эта функция многозначная, её главное значение равно  .

При a=1/n, n  N получаем многозначную функцию – корень n-й степени из z:

7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую.

Поясним сказанное на примере функций а) w= аrcsin z, б) w= аrth z.

a) Имеем по определению

Откуда

(Знаки ± в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию).

Итак,

б) По определению w= аrthz  z= thw. Откуда получаем

Таким образом,  .

Для остальных обратных тригонометрических функций выполняются формулы:

40. Дифференцируемость, условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной.

Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную   и мнимую   части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного 

 Производной функции   в точке   (обозначается как   или  ) называется предел разностного отношения:

(20)

если он существует и не зависит от способа устремления   к нулю. Последнее требование явно указано с целью еще раз подчеркнуть отличия по отношению к функциям действительной переменной, хотя, как правило, оно не приводится, так как относится к определению комплексного аналога предела. Требование дифференцируемости   в точке   накладывает важные условия на свойства ее действительной и мнимой частей и их производных, которые должны подчиняться соотношениям:

(21)

если   и  , которые называются условиями Коши-Римана. На основе (20) и (21) можно получить явные формулы дифференцирования функций комплексной переменной:

(22)

     Пример 2-4. Найти все точки, в которых дифференцируемы функции  :

1).   2).   3).  .