- •Что такое дифференциальное уравнение и его решение ? Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (задача о радиоактивном распаде и задача о колебании груза напружине).
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Задача Коши и теорема Коши для дифференциального уравнения порядка n (формулировка). Общее решение дифференциального уравнения.
- •Линейные дифференциальные уравнения (второго порядка). Линейность пространства решений однородного уравнения.
- •Теорема о связи первообразных одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла.
- •Взаимная обратность операций интегрирования и дифференцирования. Свойство линейности неопределенного интеграла.
- •Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и нахождении длины пути по известной скорости.
- •Определение определенного интеграла. Теорема существования (формулировка). Геометрический и механический смысл интеграла.
Теорема о связи первообразных одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла.
Первообразной функции f(x) на некотором (конечном или бесконечном) интервале называется дифференцируемая функция F(х), производная которой равна f(x) во всех точках интервала, т.е. F'(х) = f(x).
Теорема. Пусть и - первообразные для , тогда они отличаются друг от друга на постоянные слагаемые(const),т.е. .
Док-во.
1. По условию и
2. , т.е.
Неопределённым интегралом функции называется множество всех её первообразных.
Для проверки формулы достаточно найти производную функции F(х) и убедиться в том, что она равна подынтегральной функции f(х).
Взаимная обратность операций интегрирования и дифференцирования. Свойство линейности неопределенного интеграла.
Интегрирование и дифференцирование есть две взаимно обратные операции. Всякому правилу дифференцирования соответствует правило (метод) интегрирования. Так, свойство линейности производной переходит в свойство линейности интеграла. Правилу дифференцирования сложной функции соответствует, как мы видели, метод интегрирования введением под знак дифференциала. Этому же правилу соответствует также метод интегрирования заменой переменной. И правилу дифференцирования произведения соответствует метод интегрирования по частям.
Свойство линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации от интегралов этих функций.
Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и нахождении длины пути по известной скорости.
1)Вычисление площадей криволинейных трапеций. Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, т.е. области, лежащей под графиком функции , , вычисляется по формуле .
Площадь области S, расположенной между графиками двух функций, т.е. S : а ≤ х ≤ b, g(х) ≤ у ≤ f(х), вычисляется по формуле
2)Пусть мат. точка движется по прямой(оси x) с известной переменной скоростью dt от d=a до d=b. Требуется найти расстояние S, которое проходит точка.
, тогда
Разобьем время движения на части
Рассмотрим промежуток времени. , тогда за время от до мы можем считать приближенно, что мы едем с постоянной скоростью. При этом проходим расстояние ,
Определение определенного интеграла. Теорема существования (формулировка). Геометрический и механический смысл интеграла.
Определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] , или в пределах от a до b, называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю:
Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.
Геометрически интегральная сумма представляет из себя площадь ступенчатой фигуры, сост-щей из прямоугольников, в основании которых лежат отрезки ∆xi, а высоты равны f(ci), если f(x)≥0
Механический смысл опред. интеграла. Если переменная- это время, а функция – это скорость, то интеграл скорости по времени равен расстоянию.
Свойства определенного интеграла.
1)Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом отрезке
2) Аддитивность. Для любых a, b и c
3) Линейность. Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций и любой постоянной A
4) Если интегрируемы на [a; b], то также интегрируема на этом отрезке.
5) Интегрирование неравенств. Если , то . В частности, если , то
6) Если для любого и существует такое, что причем непрерывна в x0 то
7) Если поменять местами пределы интегрирования, то интеграл изменит знак.
8) Если непрерывна на , то точка такая, что
Теорема (Барроу) о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу.
Если непрерывна, то имеет производную, которая равна подынтегральной функции.
Док-во.
,т.е.
Следствие. Теорема утверждает, что является первообразной . Т.О. У каждой непрерывной функции есть первообразная.
Формула Ньютона-Лейбница.
Если функция непрерывна на и – её первообразная, то
Замена переменных в определенном интеграле.
Пусть функция непрерывна на [a;b], а функция
непрерывно дифференцируема на отрезке , причем , и значения функции не выходят за пределы отрезка [a;b], когда . Тогда
Интегрирование по частям для неопределенного и определенного интеграла
Для определенного интеграла. Если функция непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то
Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами , определяется по формуле
Длина дуги кривой. Вычисление длины дуги графика функции.
Если существует и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка на кусочки, то он называется длиной дуги кривой AB.
Элемент длины дуги кривой dl находится по теореме Пифагора: .
Если гладкая прямая является графиком функции , то её длина l равна
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически и в полярной системе координат.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х =x(t), y=y(t), α≤t≤β, то
Если кривая задана в полярных координатах уравнением , , то