2. Элементы математики для теории надежности

В данном разделе рассмотрены некоторые определения из теории вероятностей и математической статистики, существенные для понимания теории надежности.

2.1. Среднее значение. Математическое ожидание

Рассмотрим дискретную случайную величину x. Возьмем выборку из n значений этой величины. Среднее (среднее арифметическое) значение этой выборки можно определить по формуле

.

Если , то среднее значение становится математическим ожиданием, для обозначения которого в дальнейшем будем использовать два способа

E(x)= .

В теории вероятностей и математической статистике математическое ожидание называют начальным моментом первого порядка случайной величины.

2.2. Дисперсия. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение

Используя математическое ожидание, можно получить значения центрированной случайной величины путем вычитания из истинных значений случайной величины его математического ожидания .

Дисперсией (вариацией, центральным моментом второго порядка) случайной величины x называется математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.

.

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины и характеризует разброс ее относительно среднего значения. На практике удобнее использовать характеристику разброса с размерностью, совпадающей с размерностью самой случайной величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое (стандартное) отклонение или просто стандарт.

Среднее квадратическое отклонение S_x определяется как

.

Иногда используется безразмерный показатель рассеяния случайной величины относительно своего среднего значения, именуемый коэффициентом вариации

Для определения оценки дисперсии по выборке случайной величины, ограниченной размером n, можно использовать следующие эквивалентные формулы.

или .

Оценка по этим формулам удовлетворяет условиям несмещенности и состоятельности. Хотя обе формулы дают одинаковый результат, вторая более экономична с точки зрения вычислений.

Иногда используют момент второго порядка случайной величины (нецентрированной)

M₂= E(x²),

тогда D_x=M₂- E(x)². Выборочная оценка дисперсии по этой формуле имеет вид

и совпадет с оценкой по предыдущим формулам, если в них заменить (n-1) на n. Последняя формула для дисперсии дает так называемую смещенную оценку, но зато соответствует оценке максимального правдоподобия (см. Примечание в п.8.6.1.). Для больших выборок разница в рассмотренных оценках несущественна.

Пример 1.1.

Найти среднее значение и стандарт для следующей выборки.

x₁=15, x₂=18, x₃=16, x₄=19, x₅=15.

Решение.

,

, .

2. Характеристики асимметрии и эксцесса

Центральный момент третьего порядка случайной величины служит для характеристики асимметрии (скошенности) графика плотности вероятностного распределения (о вероятностных распределениях речь пойдет ниже в п.2.3). Для симметричного распределения . Если у функции плотности распределения правая ветвь более пологая чем левая, то . Поскольку третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то в качестве показателя асимметрии часто рассматривают безразмерную величину

.

Центральный момент четвертого порядка служит для характеристики островершинности или плосковершинности распределения. Это свойство оценивается с помощью эксцесса

Число 3 вычитается потому, что для наиболее распространенного нормального закона распределения (см. п.2.4)

.

Таким образом, нормальное распределение является эталоном (с нулевым эксцессом). Более островершинные кривые плотности вероятности имеют положительный эксцесс, а более плосковершинные - отрицательный.

В.А.Симонов Прочность и надежность локомотивов. Конспект лекций. Кафедра «Локомотивы», БГТУ