9.7.2. Модели надежности при случайной продолжительности циклов нагрузки

В данном случае вероятность безотказной работы R(t) за период времени t теоретически, в соответствии с [1], можно определить как бесконечную сумму вида

,

где p_i(t) - вероятность появления i циклов в промежутке времени [0,t], а R_i - вероятность безотказной работы в течении i циклов.

Этой формулой можно воспользоваться если известен закон распределения числа циклов приложения нагрузки в данном промежутке времени. Для многих практических случаев приемлемым является пуассоновское распределение, тогда

,

где a - среднее число циклов за единицу времени. Напомним, что последнее выражение является формулой плотности вероятности пуассоновского распределения и для него справедливо следующее равенство

.

Используя именно это предположение, а также ряд других, выведем достаточно простые соотношения для вычисления вероятности безотказной работы для всех девяти, рассмотренных в предыдущем параграфе, случаев комбинации нагрузки и прочности [1].

Случай 1. Нагрузка и прочность - детерминированные величины.

Пусть x_i и y_i - соответственно нагрузка (известная неубывающая величина) и прочность (известная невозрастающая величина) в i-том цикле. Если вплоть до k-того цикла нагрузка не превышала прочность, то вероятность безотказной работы в течении каждого из k циклов очевидно будет равна R_i=1 при i=1,2,,,k. Следовательно вероятность безотказной работы в течении времени t будет равна

.

В частности если нагрузка и прочность константы( т.е. не меняются от цикла к циклу), то k равняется: а) бесконечности, если нагрузка меньше прочности; б) нулю, если нагрузка выше прочности. Тогда для случая а) имеем R_i=1 и вероятность безотказной работы

.

Для случая б) соответственно R_i=0, но R₀=1 и вероятность безотказной работы

.

Случай 2. Нагрузка - постоянная величина, а прочность - фиксированная случайная величина.

Пусть нагрузка x=x₀=const, а прочность в i-том цикле y_i=y₀-a_i, где a_i- неубывающие во времени известные постоянные величины; y₀- случайная величина с плотностью распределения g(y₀). Тогда вероятность безотказной в течении i циклов будет равна вероятности безотказной работы в течении одного i-го цикла

.

Вероятность безотказной работы за время t будет равна

Если положить y_i=y₀, т.е. а_i=0, тогда вероятность безотказной работы в каждом цикле будет одинаковой R_i=R и последняя формула для вероятности безотказной работы может быть получена в замкнутой форме следующим образом

Случай 3. Нагрузка - постоянная величина, а прочность - независимая случайная величина.

Пусть нагрузка x=x₀=const, а прочность в i-том цикле y_i -случайная величина с плотностью распределения g_i (y). Из независимости y_i в каждом цикле нагружения следует

,

где вероятность безотказной работы в i-том цикле нагружения вычисляется по формуле

.

С целью упрощения, положим, что плотность распределения прочности одинакова во всех циклах, тогда R_n=Rⁿ. Выражение для вероятности безотказной работы получим путем следующей последовательности преобразований

Случай 4. Нагрузка - фиксированная случайная величина, а прочность - постоянная величина.

Этот случай похож на случай 2 если поменять нагрузку и прочность местами. Допустим, что нагрузка определятся только начальным значением x_i=x₀, тогда вероятность безотказной работы в каждом цикле будет одинакова и ее можно определить по формуле

,

где y₀=const - прочность; f₀(x₀) - плотность распределения нагрузки в начальный момент времени.

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

Случай 5. Нагрузка и прочность - фиксированные случайные величины.

Если предположить, что нагрузка и прочность не меняются от цикла к циклу, то вероятность безотказной работы в каждом цикле будет одинакова и ее можно определить по формуле

,

Вероятность безотказной работы, как и в предыдущем случае определяется по формуле

Случай 6. Нагрузка - фиксированная случайная величина, а прочность - независимая случайная величина.

Пусть последовательные значения прочности y₁, y₂, . . . y_n - независимые случайные величины с плотностью распределения g(y) и интегральным законом распределения G(y), одинаковыми для всех величин. Полагая плотность вероятности нагрузки f(x), формулу для вероятности безотказной работы в течении i циклов (как и для детерминированной продолжительности циклов) можно записать в виде

Следовательно

Здесь мы для представления выражения в фигурных скобках воспользовались разложением функции вида e^x в ряд Маклорена

.

Случай 7. Нагрузка - независимая случайная величина, а прочность - постоянная величина.

Это случай, обратный случаю 3 и вероятность безотказной работы вычисляется по такой же формуле

,

где вероятность безотказной работы в каждом цикле нагружения вычисляется из предположения об одинаковых законах распределения нагрузки в каждом цикле и при y₀=const

.

Случай 8. Нагрузка - независимая случайная величина, а прочность - фиксированная случайная величина.

Это случай, обратный случаю 6 и вероятность безотказной работы вычисляется по аналогичной формуле

,

где , а f(x) и g(y) - плотности распределений нагрузки и прочности.

Случай 9. Нагрузка и прочность - независимые случайные величины.

Пусть f(x), g(y) - плотности вероятности нагрузки и прочности (одинаковые в каждом цикле), тогда R_n=Rⁿ при n=1,2,3, . . . и R₀=R⁰=1, где вероятность безотказной работы в одном цикле определяется по известной формуле

,

тогда

.

Здесь, как и в случае 6 при преобразованиях мы воспользовались формулой разложения функции e^x в ряд Маклорена.