- •3 Вопрос.
- •4. Замена переменной в ти (геометрический вывод для общего случая); переход в ти к цилиндрическим и сферическим координатам.
- •7.Криволинейные интегралы 2 рода
- •8.Независимость ки-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •2. F(X,y), непрерывны в д, тогда для всякого (х0,у0)
- •11. Дифференциальные уравнения высшего порядка: основные понятия и определения. Три типа ду высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •15 Вопрос.
- •Вопрос 16. Лнду-n с постоянными коэффициентами: отыскание частного решения методом неопределенных коэффициентов по виду правой части специального вида (все случаи доказывать).
- •18.Доказать теоремы:
- •Признак Даламбера
- •2) Коши-Радикальный
- •3) Признак Коши-Интегральный
- •21. Знакочередующиеся ряды. Доказать теорему Лейбница.
- •22. Функциональные ряды.
- •25 Вопрос
- •2.1 Ряд Фурье. Пространство функции l2 [- ]. Определение, св-ва.
- •2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [-π,π].
- •Вопрос 3 фурье
8.Независимость ки-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
Рассмотрим криволинейный интеграл dy
Пусть = (1) т.е.
- =0
Тогда на основании свойств КИ имеем
+ =0
т.е КИ по замкнутому контуру L
=0 (2)
Таким образом, из условия, что для любых точек M и N КИ не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю
Теорема Пусть во всех точках области D функции Х(х,у) и Y(x,y) вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда для того чтобы КИ-2 по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, был равен нулю, т.е. чтобы
=0, где P= , а Q=
Необходимо и достаточно выполнение равенства
= (3)
Доказательство Рассмотрим произвольный замкнутый конутр L, в области D, и для него напишем формулу Грина:
)dxdy=
Если выполняется (3), то двойной интеграл тождественно равен нулю, и следовательно
=0
Таким образом достаточность доказана
НУ
Если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L, в области D, то в каждой точке этой области выполняется (3)
Допустим напротив, что равенство (2) выполняется, т.е.
=0
А условие (3) не выполняется - хотя бы в одной точке. Например в точке Р(x0,y0), имеем равенство
- >
Т.к. в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа >0 во всех точках достаточно малой области G. Содержащей точку Р(x0,y0). Возьмем двойной интеграл по этой области от разности - . Он будет иметь положительное значение.
Действительно: )dxdy> dxdy= = G>0
Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна нулю, что противоречит условию (2), а значит предположение - неверно, отсюда вытекает, что - = во всех точках области D
10. ДУ первого порядка: основные понятия и определения. Теорема о существовании и единственности задачи Коши для ДУ-1(без док-ва)
1. Решение уравнения с разделяющимися переменными
2. Понятие однородной функции n-ого измерения однородные ДУ-1, их решение
3. Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли.
4. ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения
Основные понятия и определения
1. Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “n” называется уравнение , связывающее аргумент х, функцию y и ее производные функции.
F(x,y,y',y'',..y(n))=0
2. Старшая производная задана неявно.
3.Порядок старшей производной – порядок ДУ.
4.Если у=у(х), то ДУ- обыкновенное. Если у=у(x,t,ω), то F(x,t,ω, , , )=0-уравнение в частных производных.
5. у=у(х)-решение ДУ, если при подстановке в ДУ получаем тождество.
6. у=у(х,С1, С2….Сn) , где С1, С2….Сn- произвольные постоянные- общее решение.
7. у=у(х), х=х(у) удовлетворяющее этому ДУ, но не входящие в общее решение- особое решение
8. Если в общем решении у=у(х,С1, С2….Сn) произвольным постоянным придать конкретное значение, то имеем частное решение.
9. Отыскание решения - интегрирование ДУ.
10. Если решение ДУ записано через интегралы, то говорят, что решение – квадратуры(даже если интегралы неберущиеся)
Теорема о существовании и единственности задачи Коши для ДУ-1(без док-ва)
у
Д
а)Пусть дано уʹ=f(x,y): 1. Д-область существования f(x,y)