13.Определение и свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Относительно пределов интегрирования - то же самое.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

14. Равномерное распределение . Определение плотности равномерного распределения. Подсчет константы, определяющей плотность. Вычисление функций распределения. Графики плотности и функции распределения. Связь с геометрической вероятностью , вероятность попадания в заданный интервал. Мат. ожидание, дисперсия и средне-квадратичное отклонение.

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения непрерывной случайной величины, плотность вероятности сохраняет постоянное значение, а вне этого интервала она равна нулю.

Для равномерно распределенной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] (см. рис3.), плотность вероятности имеет вид:

15. Нормальное распределение. Определение плотности нормального распределения. Её график. Нормированное распределение. Вычисление мат.ожидания и дисперсии. Вероятность попадания в заданный интервал. Вероятность уклонения от мат. ожидания. Правило трех сигм.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее

функция плотности вероятности имеет вид:

, где a є R, σ > 0 - параметры распределения.

График функции f (x) называют нормальной кривой или кривой Гаусса рис.5.

рис.5

Она обладает следующими свойствами:

1. кривая симметрична относительно прямой x = a;

2) функция имеет максимум

1 ;

3) при x → ± ∞ кривая приближается к оси Ox;

4) кривая ориентирована вогнутостью вниз при и вогнутостью вверх при , а – это математическое ожидание нормальной случайной величины, σ - ее среднее квадратическое отклонение

Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал (α,β) определяется

по формуле:

, где Ф(х) – функция Лапласа.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания, определяется формулой:

Из этой формулы получаем ,

откуда следует правило трех сигм для нормального распределения: практически достоверно, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.

16.Показательное распределение. Определение плотности, вычисление функции распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон

распределения, если функция ее плотности вероятности имеет вид:

График функции имеет вид рис.6:

Функция распределения показательной случайной величины Х имеет вид:

Для показательной случайной величины Х:

Вероятность попадания в интервал