6. Геометрические векторы, основные действия с ними: (сложение, умножение на числа, скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение).

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому. Векторы, лежащие на праллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в праллельных или совпадающих плоскостях, называются компланарными. Если угол между векторами равен π/2, то векторы называются ортогональными. BA, равный по длине вектору AB и противоположно направленный, называется противоположным и обозначается −AB.

Скалярным произведением 2х векторов а и в называется число ,равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой , то угол не определен и скалярное произведение по определению полагают=0. Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор ав, который определяется 3мя усл: 1.длина вектора ав = модуль ав sinф, где ф- угол между векторами а и в. 2. Вектор ав перпендикулярен каждому из векторов а и в. 3. Векторы а,в; ав образуют правую тройку векторов. Смешанное произведение 3х векторов а,в,с наз.число ,равное скалярному произведению векторов а на векторное произведение векторов в и с, т.е. а(вс). Суммой векторов AB и BC называется вектор AC = AB + BC с началом в точке A и концом в точке C (правило треугольника)

Произведением вектора а на действительное число называется вектор в, удовлетворяющий следующим двум условиям:1) 2) , если а>0 и , если а<0 и обозначается

9.Матрицы и основные действия над ними. Матрица-это таблица из м-строк и н-столбцов. Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Симметричная матрица всегда квадратная. Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной. Единичная матрица- все элементы кроме главной диагонали равны 0.

Нулевая матрица- все элементы равны 0. Основные действия над матрицами: сложение(вычитание) матриц, имеющих один и тот же размер; умножение матриц- перемножать можно матрицы, у которых количество столбцов 1ого самножества равно количеству 2ого; транспортирование матриц- строки и столбцы меняют местами с теми же номерам;

10. Определители и их свойства. Определитель- число соответствующее какой-либо квадратной матрицы. . Величина определителя равна сумме произведения элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраические дополнения.(т.Лалласа)

Свойства: 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами. 2. При перестановки двух строк ( столбцов) знак определителя меняется на противоположный. 3.Если все элементы какой-либо строки(столбца) умножить на постоянное число «м», то величина определителя увеличится в «м» раз, следовательно можно вынести знак определителя. 4. Если две строки(столбца) пропорциональны или равны ,то определитель равен 0.

11. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения . Минором какого-либо элемента определителя является определитель полученный путем вычеркивания строки и столбца, проходящих через этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента определитель - где ,минор элемента .Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij. Теорема о разложении: Определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) его на их алгебраические дополнения.

12.Обра́тная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка. Если матрица В является обратной по отношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отношению к матрице А. Если квадратная матрица А имеет обратную, то она единственная.

13.Рангом матрицы А называется наивысший порядок ее отличных от нуля миноров. Практические вычисления ранга матриц: 1.транспозиция любых ее строк или столбцов. 2. Умножение любой строки(столбца) матрицы на число отличное от 0. 3.Прибавление к любой строке(столбцу) матрицы другой строки(столбца) умноженной на число.

15.СЛАУ- совокупность линейных уравнений с одним и тем же неизвестным. Система: 1. Однородная(свободные члены равны 0) 2. Неоднородные(если хотя бы один свободный член неравен 0) 3. Совместная( если имеет хотя бы одно решение) 4. Несовместная( не имеет ни одного решения) 5. Определенная ( имеет одно решение) 6. Неопределенная ( имеет более одного решения ) Для решения системы сост. Основную матрицу их коэффициентов при неизвестных или расширенную матрицу их коэффициентов свободных членов, столбцов их неизвестных и столбцов свободных членов. Методы решения СЛАУ :Метод Крамера – использ. , если определитель системы неравен 0. Метод Гауса – метод последовательного исключения неизвестных. Элементарные преобразования: перестановка строк; вычеркивание строки, все элементы, которой =0» умножение строки на число, которой неравно 0;прибавление к элеметам одной строки, элементов другой строки , умноженное на одно и тоже число. С помощью этих преобразований приводим расширенную матрицу к такому виду , чтобы в последнем уравнение осталось только одно неизвестное.

1 6.Метод Крамера ( формулы Крамера ) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение