- •1.Уравнение в частных производных
- •2.Основные типы уравнений
- •3.Линейное однородное ду в частных производных первого порядка
- •4.Вывод уравнения колебаний струны методом Фурье
- •5.Задачи Коши
- •6.Решение уравнений колебаний струны методом Фурье
- •7.Решение волнового уравнения методом д′Аламбера
- •8.Уравнение теплопроводности для однородного стержня
- •9.Уравнение теплопроводности в пространстве
- •10.Распростронение тепла в неограниченном стержне. Интервал Пуасснова
- •11.Задачи приводящие к уравнению Лапласа
- •12.Задачи Неймана и Дирихле
- •Внешняя задача Неймана
- •13.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье
- •14.Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события.
- •15.Теорема я.Бернулли
- •16.Совместные и несовместимые события. Полная группа парами несовместимых событий
- •17.Геометрическая интерпретация событий
- •18.Операции над событиями
- •19.Аксиомотическое определение вероятности
- •20.Теорема о сложении вероятностей. Примеры
- •21.Геометрическая интерпретация вероятностей. Вывод формулы для суммы совместимых событий
- •22.Умножение вероятностей
- •23.Условная вероятность
- •Определение
- •Замечания
- •24.Полная вероятность. Формула Байеса
- •25.Дискретные случайные величины и их характеристики
- •26.Относительная частота и вероятность для дискретных случайных величин
- •27.Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •28.Дисперсия, средневековое отклонение, моменты дискретной случайной величины
- •Определение
- •Замечания
- •Свойства
- •29.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотности вероятности
- •30.Теорема о связи функции распределения с плотностью вроятности
- •31.Интегральный закон распределения. Интегральная кривая
- •32.Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •33.Медиана и мода
- •34.Нормальный закон распределения
- •35.Медиана и мода нормального закона распределения
- •36.Интеграл вероятностей
- •37.Свойства интеграла вероятностей
- •38.Функция Лапласа
- •39.Среднее отклонение и средняя ошибка
- •40.Приведенная функция Лапласа
- •41.Правило трех сигм
- •42.Закон больших чисел. Предельные теоремы
- •43.Задачи математической статистики. Выборка, эмпирическая функция распределения
- •44.Статистический ряд и гистограмма
- •45.Среднее взвешенное и статистическая дисперсия
- •46.Точечные оценки
- •47.Распределение Пуасона
- •48.Распределение Стьюдента
- •49.Основные свойства точечной оценки
- •50.Исправленная выборочная дисперсия
- •51.Стандартная ошибка среднего арифметического
- •52.Интервальные оценки параметров распределения
- •53.Доверительный интервал, границы
- •54.Проверка статистических гипотез
- •55.Корреляционный анализ
- •56.Регрессионный анализ
4.Вывод уравнения колебаний струны методом Фурье
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины L в начальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до. Предположим, что концы струны закреплены в точках . Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией , которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости , то будем предполагать, что длина элемента струны равняется ее проекции на ось Ox, т.е. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.
Рассмотрим элемент струны .
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы . Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент , будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь:
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть - линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
.
Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения
.
5.Задачи Коши
для волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Править
Классическая задача Коши для волнового уравнения в (уравнения поперечных колебаний бесконечной струны)
в области с начальными условиями
Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности.
Пусть - область в пространстве переменных (x,t), T - момент времени, ограничивающий наблюдение за процессом распространения тепла; f(x,t) и u0(x) - заданные функции из классов C(G) и соответственно. Требуется найти в классе функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению теплопроводности
и начальным условиям
Задача Коши для волнового уравнения в случае трех пространственных переменных.
Задача Коши для волнового уравнения в пространстве R3 ставится следующим образом:
Определение 1. Классическим решением волнового уравнения (1) называется функция u(t,x), которая имеет непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка в области и обращает уравнение в тождество.