25 Вопрос: частные производные 2 порядка

Пусть функция u = f(x1, x2,  … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2,  … , an) .  Пусть

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) ? f(a1, a2,  … , an)— частное приращение функции u в точке a , соответствующее приращению Δxk аргумента xk .

Определение 1. Если существует предел



 

  





 ,то он называется частной производной функции u = f(x) по аргументу xk в точке a.

Эта частная производная обозначается любым из символов:





  (a),       





п п пx = a,       u'xk (a),       uxk(a).Так как в определении частной производной по xk значения всех аргументов, кроме xk , не изменяются, эта частная производная вычисляется по тем же правилам, что и производная функции одной переменной xk .

Односторонние частные производные определяются аналогично односторонней производной функции одной переменной.

Геометрический смысл частных производных:

Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y) , определенную в некоторой окрестности точки (x0, y0) . Пусть она имеет в этой точке частную производную

f'x(x0,  y0)   =   





   f(x, y0)п п пx = x0 =  tg α.Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной f(x, y0) , α является углом между осью OX и касательной к графику этой функции, т.е. к кривой, определяемой системой уравнений

м н о

   

  

в точке (x0,  y0,  z0) , где z0 = f(x0,  y0)

26 Вопрос: ряды, свойство рядов

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида  .

 называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида  , где n – некоторое натуральное число.   называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

Числовой ряд   называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм  . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд   называется расходящимся. Суммой сходящегося числового ряда   называется предел последовательности его частичных сумм, то есть,  .

Числовой ряд   называется знакоположительным, если все его члены положительны, то есть,  . Числовой ряд   называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде   или  , где  . Числовой ряд   называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда. СВОЙСТВА

1.1Сходящихся числовых рядов.

1. Если сходится числовой ряд  , то сходящимся будет и ряд  . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду   добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

2. Если сходится числовой ряд   и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд  , причем , где A – произвольная постоянная.

3. Если сходятся числовые ряды   и  , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды   и  , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.