- •Двойной интеграл. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
- •22. Дифф ур-ия с разделяющимися переменными
- •25. Бернулли
- •29. Структура общего решения лнду -2.
- •30. Лоду с пост коэф.
- •31.Лнду с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •33. Основные определения числового ряда.
- •34. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •35. Признаки сравнения.
- •36. Признак Даламбера.
- •37. Радикальный и интегральный признак Коши.
- •38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •39. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •40. Основные понятия степенного ряда.
- •45. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дерихле.
- •46. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •47. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
- •49. Основные формулы комбинаторики.
- •50. Событие и вероятность. Классификация событий. Алгебра событий.
- •51. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
- •52. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Следствия.
- •53. Формула полной вероятности.
- •54. Формула Байеса.
- •55. Формула Бернулли.
- •56. Теоремы Лапласа.
- •63. Функция распределения. Св-ва.
- •64. Плотность распределения и её св-ва.
- •66. Равномерное распределение.
- •67. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •68. Нормальное распределение.
Двойной интеграл. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
Об объеме цилиндрического тела.
Опр: диаметром плоской фигуры (diam D) – называется наибольшее расстояние между 2 любыми точками этой фигуры, лежашей на границе фигуры D.
2. О массе тонкой пластины.
m=γ*ρ
Алгоритм построения двойного интеграла.
Разобьём область D произвольно на n частей.
Обозначим площадь каждой ч/з ∆Di
Выберем
(найдём значение функции в данной точке)
(Сложим произведения высот (знач. ф-ии) на площадь частички)
(устремляем диаметр к 0)
Определение двойного интеграла и его свойства.
Опр: Если существует конечный предел , независящий ни от способа разбиения D на части, ни от выбора Рi, то этот предел называется двойным интегралом от f(x;y) по области D.
Свойства:
1)
2)
3) D = D1 D2- не имеют общих внешних точек
Повторный интеграл.
Опр: повторным интегралом от f(х;у) по правильной в направлении Оу области D называется выражение вида:
Вычисление двойного интеграла.
Опр: область D – правильная в направлении Ox, если любая прямая ǁ Ох проходящая ч/з внутреннюю точку пересекает границу области в 2-х точках.
Опр: область D – правильная в направлении Oу, если любая прямая ǁ Оу проходящая ч/з внутреннюю точку пересекает границу области в 2-х точках.
Замены переменных в 2-ом интеграле. 2-ой интеграл в полярных координатах.
(1)
Опр: определителем Якоби (Якобианом) для (1)
-формула замены переменной
X2 + Y2 = ρ2=r2
– в полярных координатах.
Выгодно если В – круг или часть круга.
Приложения двойного интеграла.
Задача (объём и масса)
– площадь плоского тела
S пов-ти -
– статический момент
координаты центра масс пластины.
Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла.
- масса кривой
2) о работе переменной силы (2-го рода)
Определение и свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
Опр: если существует конечный предел независящий ни от способа разбиения АВ на части, ни от выбора промежуточных точек, то этот предел – криволинейный интеграл 1 рода.
Свойства:
- Интеграл не зависит от ориентации кривой;
Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
y=f(x;y); L:
α≤t≤β
α≤β
Y=ϕ(t) a≤x≤b dx a≤ b
Ρ=ρ(ϕ) α≤ϕ≤β α≤β
Определение и свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
Опр: Криволинейным интегралом 2-го рода по координатам дуги является если lim не зависит ни от способа разбиения, ни от Mi.
Замечание:
Q(x;y)≡0
P(x;y) ≡0
Свойства:
L = L1∩L2
не зависит от начала, зависит от направления.
Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
1)
2)L: y=y(x) a≤x≤b
L: x=x(y) c≤y≤d
Формула Грина.
Данная формула устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L. Пусть на оси Oxy задана область D, ограниченная прямой, параллельной плоскостям не более чем в двух точках (D - правильная область), тогда существует теорема.
P(x;y); Q(x;y). P.S. смотрим на изменения х и у при выборе пределов
Приложения криволинейного интеграла 2о рода.
A~F
S плоской фигуры
19. Формулы Стокса и Остроградского.
Стокс
20. Задачи, приводящие к понятию диф.ур. 1 порядка.
1) скорость dS/dt=v(t) Лбобая производная по времени – скорость протекания процесса.
2) тангенс угла наклона касательной y`= tgα
21. Общие понятия дифф. Ур. 1 порядка.
Дифференциальное уравнение – уравнение содержащее неизвестную функцию, независимые переменные и производную от независимой функции.
Если неизвестная функция есть ф-я 1 переменной – то уравнение – обыкновенное дифференциально уравнение, если ФНП – диф. уравн в частных произв или ур-ие мат физики.
Порядком дифф ур-ия называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.
F(x;y;y2… y(n))=0 (1)
y(n)=f(x;y;y`... yn-1) (2)
F(x;y;y`)=0 (3)
y`=f(x;y) (4)
Условие y(x0)=y0 (5) ( – начальное условие для (3) и (4).
Решением (3) (4) y=ϕ(x),,, которая при подстановке обращает исходное в верное тождество.
Общим решением (3) (4) у=ϕ(х;С) зависящее от произвольной постоянной, удовл 2 условиям:
При любых С данное выр-ие есть решение уравнения
Какого бы не было (5) всегда можно подобрать С=С0, у=ϕ(х;С0) будет удовл данному начальному условию
Замечание: Ф(х,у,С)=0 – общий интеграл.
Частным решением ур-ия (3) (4) называется решение полученное из общего при конкретных значениях произвольной постоянной.
Задачей Коши для (4) называется задача нахождения частного решения, удовл данному условию.