Конус (формулировки и примеры)

Математика, Алгебра, Геометрия

Пусть L — окружность радиуса R с центром в точке О, а OP прямая, перпендикулярная плоскости  , содержащей окружность L. Точку Р, которую назовем вершиной конуса, соединим со всеми точками M окружности L.

Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис. 60). Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом, отрезки РM -- образующими конуса, круг — основанием, окружность — направляющей, ОР - высотой конуса, R — радиусом основания, прямая OD -— осью конуса.

Конус может быть получен также вращением прямоугольного треугольника ОРМ вокруг своего катета ОР. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы РМ, а круг основания — вращением катета ОМ.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением (на рис. 60) — это равнобедренный треугольник MPN.

Сечение конуса плоскостью перпендикуляров оси конуса является кругом, центр которого лежит на оси конуса. Такое сечение отсекает от конуса меньший конус, а оставшаяся часть называется усеченным конусом.

Объем конуса

Математика, Алгебра, Геометрия

Объем конуса вычисляется по формуле

где R — радиус основания конуса, H -- его высота (рис. 55,а).

Для получения этой формулы воспользуемся формулой объема пирамиды

Выполним дополнительное построение. В окружность основания конуса впишем правильный n-угольник, где n - достаточно большое натуральное число (на рис. 55,б взято n = 6).

Соединяя вершину М конуса с вершинами n-угольника, получим n-угольную правильную пирамиду

вписанную в конус. Ее объем равен

(S_n - площадь n-угольника) и ее объем приблизительно ранен объему конуса. Подчеркнем еще раз, что при

будем иметь

что и доказывает исходную формулу. Равенство

доказано в планиметрии.

Цилиндр

Математика, Алгебра, Геометрия

В одной из двух плоскостей   ||   имеется замкнутая линия Z. Фигуру, ограниченную линией Z, обозначим буквой Ф. Пусть l -- некоторая прямая, пересекающая плоскости   и   . Из точек М линии Z проводим отрезки, параллельные l и заключенные между плоскостями   и   . Полученная при этом поверхность называется цилиндрической поверхностью.

К цилиндру присоединяют фигуры Ф и Ф₁ (Ф₁ — фигура, равная фигуре Ф и принадлежащая плоскости  ) и все точки пространства, расположенные внутри цилиндрической поверхности (между плоскостями).

Фигуры Ф и Ф₁ называются основаниями цилиндра, Z -- направляющей цилиндра, М₁ — его образующей.

Если прямая l перпендикулярна плоскости   и  , то цилиндр называется прямым (в противном случае — наклонным).

Прямой цилиндр называется круглым (круговым), если направляющая Z является окружностью, а основания Ф и Ф₁ — круги (рис. 58).

Расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой. Прямая ОО₁, проходящая через центр О и O₁ кругов оснований, называется осью цилиндра. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник.

Предметы цилиндрического вида являются трубы, колодцы, и последнее время появляются дома цилиндрической формы.

Призма

Математика, Алгебра, Геометрия

Призма — частный случаи многогранника. Для получения призмы необходимо взять два многоугольника в плоскостях   ||  , причем многоугольники должны быть совмещенными при параллельном переносе, и соответствующие вершины соединить отрезками.

На рис. 48 показан эскиз призмы, пятиугольной или пятигранной. Многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы. Паралеллограммы, две стороны которых являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — отрезки, соединяющие их соответствующие концы, называются боковыми гранями. Общие стороны соседних боковых граней называются боковыми ребрами, а стороны оснований называются также ребрами оснований.

Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой, в противном случае — наклонной (рис. 48). Если основания призмы являются треугольниками, то призма — треугольная. Если основания призмы параллелограммы, то призма называется параллелепипедом. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Высотой произвольной призмы называется расстояние между плоскостями оснований (рис. 48). Большинство домов -- прямоугольные параллелепипеды, т.е. все их грани прямоугольники.