11)Необходимое и достаточное условие линейной независимости решения лоду

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n_-1(x)y⁽ⁿ^-
1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Справедливо следующее необходимое и достаточное условие линейной независимости решений этого уравнения.

Решения y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W(x ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a; b] .

Для определителя Вронского W(x ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [a; b] коэффициентами, справедлива формула Остроградского–Лиувилля:

Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:− если W(x₀ ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) = 0, x₀∈[a, b], то W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 на [a, b];− если же W(x₀ ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠ 0, x₀∈[a, b], то W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠0 на [a, b].

12)Фундаментальная система решений лоду

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y₁(x),y₂(x), …, y_n(x) его n частных решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x). Док-во. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y_чо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C₁, C₂, …, C_n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C₁, C₂, …, C_n и сравним её с функцией y_чо(x).Функции y(x) и y_чо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x₀, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y_чо(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + … + C_n y_n(x). Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n. 13)Структура общего решения ЛОДУ Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений. Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю L_n(y₁) = 0; L_n(y₂) = 0; Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения (21) nзадач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя: Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x₀ равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

14)Линейный неоднородные диф.ур-ния. Структура общего решения ЛНДУ.

15) Решение ЛНДУ методом вариации постоянных.

16)ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Постоянные фундаментальные системы решений в зависимости от корней характеристического уравнения.

17)Отыскание частного решения ЛНДУ методом подбора.

Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

где P_m₁(x) и Q_m₂(x) - многочлены степеней, соответственно, m₁ и m₂, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s₀ как корня характеристического уравнения, m = max(m₁, m₂). Тогда частное решение надо искать в виде , где R_m(x) и S_m(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y_чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m +1) уравнений относительно 2(m +1) неопределённых коэффициентов многочленов R_m(x) иS_m(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции y_чн(x). Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего. I. Если f(x) = P_m(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде y_чн(x)= R_m(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде y_чн(x)= x^r R_m(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. Это правило следует из общего, если записать f(x) = P_m(x) в виде f(x) = e⁰^x [P_m(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s₀ = 0 + 0i, m₁ = m, m₂ = 0, max(m₁, m₂) = m, поэтому y_чн(x)= x^r e⁰^x [R_m(x) cos 0x + S_m(x) sin 0x] = x^r R_m(x) .