- •Определение 2 Совокупность всех первообразных функции f(X) определена на некотором промежутке I, называется неопределенным интегралом (н.И.) от функции f(X) на этом промежутке и обозначается: .
- •3.Табличные интегралы
- •4.Замена переменных (введение множителя под знак дифференциала)
- •5.Интегрирование по частям
- •Вопрос №11
- •Тема 2 вопрос 3 Сумма Дарбу. Условия существования интеграла.
- •Критерии существования интеграла
- •Интегрируемость непрерывных монотонных функций
- •2.5(6).Свойства определенного интеграла
- •2.7.Теорема (о среднем значении определённого интеграла):
- •Т.Е. Геометрический смысл
- •Т.Е площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (b-a) и высотой f(ξ)
- •2.8(9).Определённый интеграл с переносным верхним пределом
- •Т.Е. Для любого х имеет смысл интеграл
- •Это есть
- •Заметим , что
- •Оценим разность
- •Вопрос №10Формула Ньютона-Лейбница
- •Теорема об интегрировании по частям
- •Вычисление площади плоских фигур
- •Выражение площади через интегралы
- •Вопрос №18(19): Длина дуги кривой.
- •Вопрос №22:несобственные интегралы
- •Применение основной формулы интегрального исчисления
- •Вопрос №простейшие свойства несобственных интегралов
Теорема об интегрировании по частям
Пусть ф-ции U=U(x) и V=V(x)непрерывны вместе с производными на a,b, тогда
Док-во.
Имеем:
Вопрос№13
Вычисление площади плоских фигур
Возьмём произвольную фигуру Р на плоскости, представляющую собой ограниченную и замкнутую область, её границу или контур (К) всегда будем представлять в виде замкнутой кривой.
Рассмотрим возможные многоугольники (B), целиком содержащие в себе (Р) и (А), целиком содержащиеся в (Р). Обозначим А и В площади этих многоугольников (А<В).
Мн-во чисел{А}, ограничено сверху любым числом В, и поэтому имеет такую верхнюю границу, обозн. Р*<В
Точно также {В} мн-во чисел, ограничено снизу и имеет такую нижнюю границу Р*>Р*
Определение.
Если обе границы Р*=sup{A}и P*=inf{B}, совпадают, то их общее значение называется площадью фигуры Р. В этом случае фигуру Р называют квадрируемой.
Теорема1.
Для существования площади Н.иД., чтобы для любого >0, нашлись 2 многоуг (А) и (В), для которых В-А<
Теорема2.
Для того чтобы фигура Р была квадрируема Н.иД., чтобы для любой точки 2 последовательности многоугольников ((Аn)) и ((Bn)), соответственно содержащиеся в Р и содержащие Р, площади
которых имели бы общий предел.
Этот предел будет очевиден площади фигуры Р.
Существенную роль в вопросе квадрируемости области играет граница этой области.
Будем говорить, что кривая имеет площадь =0, если её можно покрыть многоуг областью, сколь угодно малой площади.
Теорема3.
Для того, чтобы плоская фигура была квадрируема, Н.иД., чтобы её граница имела площадь =0. Можно показать, что этим св-вом обладают непрерывные кривые выраженные явно ур-ем y=f(x), x=g(y), отсюда достаточное условие кв-ти.
Теорема4.
Если фигура Р ограничена несколькими непрерывными кривыми, каждая из которых выражается явным ур-ем y=f(x), xa,b; или x=g(y), yc,d; f и g непрерывны, то эта ф-я квадрируема.
Замечание. Сумма 2 кв-емых ф. и пересечение кв-мых ф тоже кв-мая ф.
Выражение площади через интегралы
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком y=f(x), где f(x) положит и непрерыв на [a,b прямыми x=a, x=b и отрезком оси ab. Фигура квадрируема, т.е. площадь существует.
Разобьём отрезок [a,b произвольным образом на части a=x0<x,<x2<x1=b и составим интегральную сумму вида.
Где mi наименьшее значение ф-ции f(x) на промежутке xi, xi+1
Тогда
Описанные
Вопрос№14
Площадь криволинейного сектора (площадь в полярных коорд-ах)
Пусть задана ф ограниченной кривой, заданная ур-ем =(), где () положит и непрер ф-я на [,) и лучами =, =
С уществование площади обеспечено св-вами контура
Разобьём [,] на части 012…n= и впишем и опишем ступенчатые фигуры, состевленные из круговых секторов.
Пусть mi=inf (), на (i, i+1) min; Mi=sup (), здесь же max
Перейдём к пределу max 0, обе суммы имеют пределом интеграл
Вопррос№15
Объём тела вращения.
Пусть L кривая, описываемая в прямоугольной системе координат Oxyz, непрерывной положительной ф-цией, y=f(x), xa,b
Вычислим объём тела, ограниченного плоскостями x=a, x=b и пов-ностью вращения кривой y=f(x) вокруг оси Oх
Произведём разбиение отр [a,b на части ax0x1x2…xn=b и считая, что элементы объёма тела, ограниченного плоскостями x=xk, x=xk+1 приближённо = объёму цилиндра, высотой xk= xk+1 - xk и радиусом yk=f(xk). V1=y2xk;
Тогда
Замечание. Рассмотрим тело, расположенное между плоскостями x=a, x=b поделим его плоскостями перпендикулярно оси Ox. Пусть
Полученные сечения квадрируемые, т.е. имеют площадь, и пусть площадь соответствующих точек оси Х равна Р(х), где Р(х) непрерыаяфункция. Тогда объем этого тела можно вычислить по формуе:
Вопрос №17: Площадь поверхности вращения.
Пусть L кривая, описываемая в прямоугольной системе координат XY, положительной функцией y = f(x), x [a,b].
Функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке AB. Требуется вычислить площадь поверхности вращения, образованной при вращении кривой L вокруг оси Ox.
Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками a=x0<x1<…<xn=b. Впишем в кривую ломаную Ln с вершинами в точках xk и f(xk). Вычислим площадь поверхности вращения ломаной вокруг оси Ox ( сумма площадей боковых поверхностей усеченного конуса).
Здесь должен быть график кривая f(x),прямые [a,b]
Воспользуемся теоремой Лагранжа. по ней:
Можно показать, что при . Тогда перейдя к пределу мы получим:
Пример: определить площадь поверхности шарового пояса.