12 Геометрический смысл определенного интеграл

Пусть на отрезке [а; Ь] задана непрерывная функция у = f(x) >= О.Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу осью Ох, сбоку - прямыми Х = а и Х = Ь, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

S= lim Σ_i=1 ⁿ f(c_i)∆Xi т.е S=∫_a ^b f(x) dx

λ →0

n→∞

оnределенный. uнтеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапецией. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

13Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем 1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b] ∫_a^b c*f(х) dx = c* ∫ f(х) dx , постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], тогда интегрируема на [a; b] и их сумма ∫_a^b (f1 (х) + f2(X)) dx =∫_a^bf1 (х) dx +∫_a^b f2(X) dx, т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

3. ∫_a^b f(x) dx = - ∫_a^b f(x) dx.

4.Если функция f(x) интегрируема на [а; Ь] и а < с < Ь, то ∫_a ^b f(x) dx =∫_a^c f(x) dx +∫_c^b f(x) dx,

5.«Теорема о среднем». Если функция f(x) непрерывна на отрезке[а; Ь], то существует точка с€[а; Ь] такая, что ∫_a^b f(x) dx = f(c) . (Ь - а).

6. Если f(x) сохраняет знак на отрезке [а; Ь], где а < Ь,

Интеграл ∫_a^b f(х) dx имеет тот же знак что и функция Так, если f(x) ≥0 на отрезке [а; Ь], то ∫_a^b f(x) dx ≥ 0

7. неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; Ь],(а < Ь) можно интегрировать .Так, если f1 (х) < f2(X) при x€ [а; Ь], то ∫_a^b f1(x) dx< ∫_a^b f2(x) dx

14. Необходимое условие интегрируемости функции. Функция Дирихле. \

Необход. Условие: Если фенкция интегрируема, то она ограничена.

Ф -я Дирихле: Фу́нкция Дирихле́ — функция (....), принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число f(x) = ^{1если Х- рациональное Х€[ab]}

_{0 если Х- иррациональное}

1) пусть пси –рациональн, € [x_i-1; x_i] , ɓ_t ( знак сигма по t) ɓ_t (T; {пси_i}) = Σ_i=1 ⁿ f(пси_i)∆Xi =

λ →0

n→∞

== Σ_i=1 ⁿ1*∆Xi = b-a

2)пусть пси –иррациональн, € [x_i-1; x_i] , ɓ_t ( знак сигма по t) ɓ_t (T; {пси_i})= Σ_i=1 ⁿ0*∆Xi =0

Если перейти к пределу,то мы не получаем одно число, тк не существует общего предела иррац. функции.

15 Классы интегрируемых функций (достаточные условия интегрируемости). Функция называется Кусочно- непрерывной на отрезке [а;в] , если она непрерывна в любой точке отрезка , кроме точек разрыва первого рода.

1. Непрерывна на замкнутом отрезке [а;в] функция- интегрируема на [а;в].

2. Ф-я кусочно-непрерывная – интегрируема на [а;в]

3. Если ф-я монотонная на [а;в] , то он интегрируема на [а;в]

16Производная от интеграла с переменным верхним пределом. Замечание о существование первообразной для непрерывной функции.

Определение :Пусть f(x) интегрируема на [а;в] тогда, для любого х f(x) интегрируема на [а;в]. Теорема . Пусть f(t) непрерывна на [а;в] F(x)= ∫_a^x f(t)dt, тогда F(x) дифференцируема на [а;в]. Производная от F(x) = ( ∫_a^x f(t)dt)ꞌ=f(x) от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции и вычисленной в точке равной верхнему пределу. F(x) = ∫_a^x f(t)dt превообразная для f(x)

Док-во : x+∆x€[а;в]; F(x+∆x)=∫_a ^x+∆x f(t)dt

∆F(x)= F(x+∆x)-F(x)= ∫_a ^x+∆x f(t)dt -∫_a ^x f(t)dt =∫_a ^x f(t)dt +∫_a ^x+∆x f(t)dt - ∫_a ^x f(t)dt =∫_a ^x+∆x f(t)dt ( по 5 свойству)

Fꞌ(x)= lim (∆Fx/∆x)= lim ( ∫_x ^x+∆x f(t)dt /∆x)= lim ( (f(c)*∆x)/∆x)=f(x)

x→0 x→0 x→0

17Связь интеграла с переменным верхним пределом с неопределенным интегралом.

18Теорема Барроу. (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а;Ь] и F(x) - какая-либо ее первообразная на [а; Ь] (F'(x) = f(x)), то имеет место формула

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

19 Замена переменной в определенном интеграле. Если:

1) функция х = p(t) и ее производная хꞌ=pꞌ(t) непрерывны при t € [α;β];

2) множеством значений функции х = p(t) при t €[α;β] является отрезок [а; Ь];

3) р(α) = а и р(β) = Ь, то ь ∫_a ^b f(x) dx =∫_a ^b f(p(t)) . < pꞌ(t) dt

20Интегрирование по частям в определенном интеграле

. Если функции u = и(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; Ь]. то имеет место формула ∫_a^b udv = uv│_a ^b -∫_a^b vdu.

21Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей в декартовой системе координат величина Чтобы найти значение геометр. А, связан [a; в] изменения независимой переменной х, А- вел. аддитивная

A=f(c1)x1+…+f(c_n)∆x_n= Σ_i=1 ⁿf(c_i)∆Xi

A=lim Σ_i=1 ⁿ f(c_i)∆Xi = ∫_a ^b f(x) dx

λ →0

n→∞

S=∫_a ^b f(x) dx площадь фигуры ограниченная кривыми y=f1(x) и y=f2(x) прямыми x=a x=b при условии f2(x)≥f1(x)

S= ∫_a ^b f2(x) dx- ∫_a ^b f1(x) dx= = ∫_a ^b (f2(x) - f1(x) )dx

22Несобственные интегралы I рода. Определения и примеры. Рассмотрим так называемые несобсmвенные интегралы , т. е определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования.

+∞

∫_a f(x) dx = lim ∫_a ^b f(x) dx.

b→+∞

23Геометрический смысл несобственного интеграла I рода. Если f(x)≥0 то ∫_a^b f(x) dx выражает -площадь области , ограниченной кривой y=f(x) и прямыми y=0 x=a x=b поэтому естественно считать, что ∫_a ^b f(x) dx выражает площадь трапеции с бесконечно большим основанием, заключенной м/у линиями у=0,х=0, у=у(х). расходящийся интеграл не имеет какого-либо геометр смысла. Если на промежутке [a;+∞) непрерывные функции f(x) и p(x) удовлетворяют условию 0≤ f≤ p(x) то из сходимости интеграл ∫_a ^∞f(x) dx из расходимости ∫p(x) dx.

24zНесобственные интегралы II рода. Определения и примеры

несобсmвенные интегралы, определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

∫_a ^∞f(x) dx из расходимости ∫p(x) dx