- •Алгоритм Гаусса решения систем линейных уравнений
- •Методы вычисления определителей
- •Пример.
- •Скалярное произведение векторов. Длина вектора
- •Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Общее уравнение прямой на евклидовой плоскости
- •Общее уравнения плоскости в евклидовом пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Рекомендуемая литература
Общее уравнение прямой на евклидовой плоскости
Прямую на евклидовой плоскости можно задать с помощью принадлежащей ей точки и ненулевого вектора , перпендикулярного ей. Вектор называется нормальным вектором прямой.
Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида , где или . В прямоугольной декартовой системе координат любое уравнение такого вида задаёт на евклидовой плоскости прямую, и любую прямую можно задать уравнением такого вида. При этом – нормальный вектор данной прямой.
Уравнение прямой , проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: .
П ример. Записать общее уравнение прямой, содержащей высоту треугольника с вершинами , , .
Решение. Вектор перпендикулярен прямой , значит является нормальным вектором этой прямой. Точка принадлежит прямой . Следовательно, уравнение прямой имеет вид .
Ответ: .
Расстояние от точки до прямой на евклидовой плоскости
Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением , вычисляется по формуле:
.
Пример. Вычислить длину высоты треугольника с вершинами , , .
Решение. Вначале запишем уравнение прямой :
.
Длина высоты равна расстоянию от точки до прямой :
.
Параметрические уравнения плоскости в трёхмерном пространстве
Плоскость в пространстве можно задать 1) парой неколлинеарных векторов , параллельных этой плоскости, и точкой , лежащей на ней; 2) тремя точками , и , лежащими в этой плоскости и не лежащими на одной прямой.
Параметрические уравнения плоскости параллельной неколлинеарным векторам и , проходящей через точку , имеют вид: . Здесь – текущие координаты точки, и – параметры. Уравнения плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, можно получить следующим образом.
Векторы и не коллинеарны и параллельны данной плоскости. Поэтому их можно взять в качестве векторов и , а в качестве точки, лежащей в данной плоскости, взять точку .
Пример. Записать параметрические уравнения плоскости, проходящей через точки , , .
Решение. , – направляющие векторы данной плоскости.
– параметрические уравнения данной плоскости.
Общее уравнения плоскости в евклидовом пространстве
Плоскость в евклидовом пространстве можно задать с помощью принадлежащей ей точки и ненулевого вектора , перпендикулярного ей. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Общим уравнением плоскости называется уравнение вида , где или или . В прямоугольной декартовой системе координат любое уравнение такого вида задаёт плоскость, и любую плоскость можно задать уравнением такого вида. При этом – нормальный вектор данной плоскости.
Уравнение плоскости , проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: .
Пример. Точка является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость . Записать общее уравнение плоскости .
Решение. Вектор перпендикулярен плоскости и поэтому является нормальным вектором этой плоскости ( – начало координат). Точка принадлежит плоскости . Следовательно, общее уравнение этой плоскости имеет вид: .
Ответ: .
Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки
Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, имеет вид: .
Пример. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точки , , .
Решение. Уравнение имеет вид:
Ответ:
Расстояние от точки до плоскости в евклидовом пространстве
Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением , вычисляется по формуле:
.
Пример. Найти длину высоты пирамиды с вершинами в точках , , , .
Решение. Запишем вначале уравнение плоскости :
.
Длина высоты равна расстоянию от точки до плоскости :
.
Элементы дифференциальной геометрии
Понятие кривой
Пусть I - интервал числовой прямой, – трёхмерное евклидово пространство.
Определение. Говорят, что в евклидовом пространстве задана непрерывная кривая , если задано непрерывное отображение f : . Отображение f называется при этом параметризацией кривой .
Отображение f может быть задано уравнениями:
, (6)
где – координаты точки . Эти уравнения можно записать в векторной форме: , где – радиус-вектор точки .
Длина дуги кривой
Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями (6) на отрезке
вычисляется по формуле
.
Пример. Винтовая линия задана параметрическими уравнениями: , . Найти длину дуги этой кривой, заключенной между точками и .
Решение. , , ,
.
Ответ:
Сопровождающий трёхгранник кривой
Пусть гладкая кривая в пространстве задана векторным параметрическим уравнением . К каждой регулярной точке кривой можно каноническим образом присоединить прямоугольную декартову систему координат (регулярная точка – это точка, в которой векторы и неколлинеарны). Началом координат является данная точка . Прямые, на которых лежат оси координат, и плоскости, проходящие через координатные оси, имеют специальные названия. Совокупность этих трёх прямых и плоскостей называется сопровождающим трёхгранником кривой. Элементы сопровождающего трёхгранника следующие.
1. Касательная к кривой. Её направляющий вектор есть вектор , поэтому канонические уравнения касательной в точке, которая соответствует значению параметра , имеют вид: .
2. Нормальная плоскость. Она перпендикулярна касательной к кривой. Поэтому её нормальный вектор есть , а общее уравнение нормальной плоскости имеет вид:
.
3. Бинормаль. Её направляющий вектор есть вектор .
4. Соприкасающаяся плоскость. Она перпендикулярна бинормали, поэтому её нормальный вектор есть .
5. Главная нормаль. Её направляющий вектор есть .
6. Спрямляющая плоскость. Она перпендикулярна главной нормали, поэтому её нормальный вектор есть .
Пример. Составить уравнения элементов сопровождающего трёхгранника кривой при .
Решение. Значению параметра соответствует точка кривой М(-2, 3, -4).
1. ; в точке М: . Используя канонические уравнения касательной, получаем: .
2. Уравнение нормальной плоскости: .
3. , .
.
Записываем канонические уравнения бинормали как уравнения прямой, проходящей через точку М(-2, 3, -4) с направляющим вектором : .
4. Уравнение соприкасающейся плоскости запишем как уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку М(-2, 3, -4): .
5. .
Канонические уравнения главной нормали записываем как уравнения прямой, проходящей через точку М(-2, 3, -4) с направляющим вектором : .
6. Уравнение спрямляющей плоскости запишем как уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку М(-2, 3, -4): .
Кривизна и кручение кривой
Кривизна и кручение кривой вычисляются соответственно по формулам: , .
Пример. Вычислить кривизну и кручение кривой при (см. предыдущий пример).
Решение. – кривизна кривой;
, ,
, ,
– кручение кривой в точке М(-2, 3, -4).
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть задано непрерывное отображение плоской области E в трёхмерное евклидово пространство . Тогда говорят, что дана поверхность в евклидовом пространстве, а данное отображение называют её параметризацией.
Существует три основных способа задания поверхности.
1) Параметрическое задание. При этом способе поверхность задаётся тремя уравнениями вида:
, , , (7)
или одним векторным параметрическим уравнением
, (8)
где , функции , , определены в плоской области E. То, что уравнения (7) задают поверхность S означает следующее: точка ( , , ) лежит на поверхности при любых значениях параметров , и любая точка этой поверхности получается при некоторых значениях параметров .
2) Явное задание. При этом способе поверхность задаётся уравнением вида
, (9)
где f – действительная функция, определённая в плоской области E. Точка с координатами пробегает поверхность S, когда точка пробегает область E.
3) Неявное задание. При этом способе поверхность задаётся уравнением вида
, (10)
где – действительная функция, определённая в некоторой области пространства . Точка лежит на поверхности тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению (10).
Пусть S – поверхность в евклидовом пространстве и M – точка этой поверхности. Если поверхность гладкая, то в любой её точке определена касательная плоскость (см. рисунок) и нормаль к поверхности. Нормаль перпендикулярна касательной плоскости и проходит через точку касания.
Если поверхность S задана уравнениями вида (7), то уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке имеют вид
(11)
(общее уравнение касательной плоскости в точке );
(каноническое уравнение нормали в точке ).
Если поверхность S задана уравнением вида (9), то уравнение касательной плоскости и нормали в точке , лежащей на поверхности S (т. е. такой, что ), имеют вид
(общее уравнение касательной плоскости в точке );
(каноническое уравнение нормали в точке ).
Если поверхность S задана уравнением вида (10), то уравнение касательной плоскости и нормали в точке , лежащей на поверхности S (т. е. такой, что ), имеют вид
(общее уравнение касательной плоскости в точке );
(канонические уравнения нормали в точке ).
Пример. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности , , в точке .
Решение. Найдём значения параметров и , соответствующие точке :
Далее, , , , , , , , , , , , . Подставляя эти значения в (11), получаем общее уравнение касательной плоскости в точке :
.
Так как нормаль проходит через точку касания и перпендикулярна касательной плоскости, то её канонические уравнения имеют вид: .