15. Расчет импульсной характеристики
П
редставление
функции передачи H(s)
в виде суммы простых дробей позволяет
вычислить импульсную характеристику
системы. Каждое слагаемое функции
передачи вида
соответствует слагаемому импульсной характеристики
П
ара
комплексно-сопряженных полюсов дает
пару слагаемых импульсной характеристики
в виде комплексно-сопряженных экспонент,
сумма которых – синусоида с экспоненциально
меняющейся амплитудой.
- фаза
комплексного числа ri.
m
-кратный
полюс рi,
даст в выражении для импульсной
характеристики m
слагаемых следующего вида:
Устойчивость линейных систем
С
истема
называется устойчивой,
если при
нулевом входном сигнале выходной сигнал
затухает при любых начальных условиях:
при
Это равносильно требованию затухания импульсной характеристики:
Импульсная характеристика системы в общем случае содержит слагаемые вида:
pi
— полюсы
функции передачи системы,
ri — соответствующие им вычеты,
k — целые числа в диапазоне от нуля до значения, на единицу меньшего кратности
полюса pi
Т
акие
слагаемые при t→¥
затухают, если вещественная часть полюса
pi
является отрицательной:
Общее условие: линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы ее функции передачи лежат в левой комплексной полуплоскости.
Пространство состояний
Еще одним способом описания линейной цепи является ее представление в пространстве состояний. При этом состояние цепи описывается вектором состояния s(t), а собственные колебания цепи и ее реакция на входной сигнал x(t) характеризуются следующим образом:
Пусть размерность вектора состояния s(t) равна N (s(t) — вектор-столбец), а входной x(t) и выходной y(t) сигналы - скалярные, тогда размерность параметров:
А — матрица N х N, В — столбец N х 1, С — строка 1 х N, D — скаляр.
Описанием цепи в данном случае является набор параметров А, В, С, D.
Если входной и/или выходной сигналы являются векторными, размерность параметров соответствующим образом изменяется.
От представления цепи в пространстве состояний можно легко перейти к функции передачи цепи. Если применить преобразование Лапласа к уравнениям состояния, а затем выразить из них операторный коэффициент передачи, получится следующее:
I – единичная матрица N´N.
Можно выполнить и обратный переход от функции передачи к пространству состояний.