- •Исследование задач на безусловный минимум (с док.) Схема исследования.
- •Глава III нелинейное программирование
- •Задача на безусловный минимум
- •3.1.1. Условие оптимальности
- •3.1.2 Схема исследования задач типа (1)
- •III Вычислительные методы
- •4.3.1 Аппроксимация функций
- •Общая схема методов 1-го порядка
- •4.3.3 Выбор направления и шага в методах 1-гопорядка. Градиентные методы
- •4.3.4 Общая схема методов 2-го порядка. Метод Ньютона
- •4.3.5 Другие методы. О выборе метода
- •IV Варианты исчисления
- •Озви ом
- •Необходимое условие оптимальности в терминах вариации
IV Варианты исчисления
Озви ом
Вариации h, вариация ∂I(ξ,h)
Необходимые условия оптимальности в терминах вариации.
Пусть дана некоторая допустимая кривая , тогда функция называется вариацией этой допустимой кривой, если снова является допустимой, то есть .
Удобно вариацию представлять в виде: , где – описывает форму вариации, а множитель её величину. Аналог в конечномерном программировании: .
Ясно, что при , поэтому функцию также называют вариацией допустимой кривой.
Из определения допустимых кривых вытекает, что некоторая функция будет вариацией тогда и только тогда, когда
1) ;
2) .
То есть вариация имеет вид:
Обозначим через . Для нашей задачи ясно, что некоторая вариация подходит сразу для всех допустимых кривых.
Вариация называется тривиальной, так как она оставляет любую допустимую кривую на месте. Вариация – основной инструмент исследования основной задачи вариационного исчисления.
Определение. Зафиксируем некоторую допустимую кривую и вариацию , тогда если допустимо разложение
, то коэффициент при называется первой вариацией функционала, а коэффициент при – второй вариацией функционала.
Получим для основной задачи вариационного исчисления вид 1-ой и 2-ой вариации. Из теории разложения функции в ряд вытекает, что 1-ой вариации функционала вид:
Из соотношения (2) видно, что если зафиксировано , то первая вариация представляет из себя некоторое число. Из теории разложения функции в ряд следует, что 2-ая вариация функционала имеет вид: Видно, что 2-ая вариация представляет из себя некоторое число при фиксированных .
Необходимое условие оптимальности в терминах вариации
Теорема 1. Пусть – слабая минималь основной задачи вариационного исчисления, тогда:
1) ;
2) .
Доказательство. 1) Пусть – слабая минималь, предполагаем противное: , тогда из разложения получаем: где предполагаем, что -малое и противоположного знака знаку числа . При достаточно малом . Тогда это неравенство противоречит, что – слабая минималь.
2) Пусть – слабая минималь, предполагаем противное, что существует такая, что . Из разложения имеем:
для достаточно малого , то есть – противоречит, что – слабая минималь.
Ч.т.д.
В частности, условие стационарности из теоремы 1 можно записать в явном виде: если – слабая минималь, то
(4)
Условие Эйлера, его применение +лаб.раб.№6 (часть 2)
Теорема 2(условие Эйлера). Если – слабая миниамаль основной задачи вариационного исчисления, то она необходимо всюду на [a,b] должна удовлетворять уравнению
(уравнение Эйлера) (6)
(то есть при подстановке в уравнение (6) должна обращать его в верное тождество на [a,b]).
Доказательство. Пусть – слабая миниамаль, тогда по теореме 1 выполняется условие стационарности, то есть выполняется равенство (4). Второе слагаемое в (4) проинтегрируем по частям:
.
Полученное подставим в (4), в результате получим:
.
Поскольку в квадратных скобках стоит непрерывная функция , то используя лемму Лагранжа, приходим к тождеству:
.
Ч.т.д.
Теорема 3 (Интегральное условие Эйлера). Пусть – слабая минималь ОЗВИ, тогда всюду на [a,b], она удовлетворяет уравнению:
(10)