- •1. Учет погрешности вычислений.
- •3. Приближенные вычисления без учета погрешности.
- •7. Метод границ
- •8.Математические модели и численные методы.Вспомогательные сведения из математического анализа. Метод оптимального исключения решения слау.
- •9. Решение ур-ний с одним неизвестным. Дихотомия. Принцип Банаха.
- •13. Метод Гаусса.
- •14. Обращение матриц и уточнение приближенной обратной матрицы.
- •15. Метод квадратного корня решения слау.
- •19. Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •20. Интерполирование функций. Конечные разности. Разделённые разности.
- •21. Интерполяционные многочлены Ньютона.
- •22. Численное дифференцирование. Некоторые частные формулы вычисления производных.
- •23. Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов.
- •24. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •26. Численное интегрирование. Квадратурная формула Симпсона.
- •27. Численное интегрирование. Квадратурные формулы прямоугольников. Правило Рунге выбора шага интегрирования.
3. Приближенные вычисления без учета погрешности.
Опр. Значащими цифрами в десятичной записи числа называют все его цифры кроме нулей стоящих слева от первой цифры отличной от нуля.
Приближенные вычисления без учета погрешности указывают на то сколько значащих цифр сохранять в вычислениях, чтобы с одной стороны не увеличивать объем вычислений за счет большого количества значащих цифр у операндов, а с другой стороны, чтобы погрешность, появляющаяся за счет округления операндов, не доминировала над погрешностями других видов.
Правило 1: Для того чтобы вычислить алгебраическую сумму приближенных слагаемых нужно:
1)среди слагаемых выделить наименее точное;
2)все остальные слагаемые округлить, сохраняя один запасной разряд, следующий за последним разрядом в выделенном слагаемом;
3)сложить полученные после округления числа;
4)полученный результат округлить до предпоследнего разр.
Пример 1:
найти сумму слагаемых S=2,737+0,7794+27,1+0,283
1.27,1;
2.Округлить 2,74; 0,78; 0,28;
3.S=30,90
4.30,9
Правило 2: Для того чтобы умножить (разделить) приближенное значение чисел следует:
выделить сомножитель, содержащий наименьшее число значащих цифр;
остальные сомножители округлить, сохранив на одну запасную значащую цифру больше, чем в выделенном сомножителе;
произвести умножение (деление);
полученный результат округлить, сохранив в нем столько значащих цифр сколько в выделенном сомножителе.
Пример 2:P=4,748*3,34*0,7
0,7
4,7; 3,3;
10,857;
1*
Правило 3: При возведении приближенного значения в квадрат или куб, извлечения корня из него в результате стоит оставлять столько значащих цифр сколько их имеет основание.
Правило 4: При вычислении значений sin, cos, tg, ctg аргументов, выраженных в радианах – в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет аргумент.
Правило 5: При вычислении мантиссы десятичного логарифма приближенного аргумента в результате необходимо сохранять на один десятичный знак меньше, чем количество значащих цифр аргумента.
Правило 6: Если число является результатом промежуточных действий, то в нем следует оставлять на одну, две цифры запасных больше чем указано в правилах 1-5.
7. Метод границ
Существуют различные способы оценки точности приближ. знач.:
1) метод строгого учета погрешн.
2)приближ. вычисл. без учета погрешн.
3)метод границ
Метод границ позволяет установить границы в кот. закл. знач. выполняемое по ф-ле, если известны границы парам., входящих в эту же ф-лу. Пусть Х-нек. число, нижняя граница НГх, верх. граница Х ВГх , НГх≤х≤ ВГх, НГy≤х≤ ВГy справедлива теор. 1:
Теорема 1
Сумма нижн. границ слаг. явл. нижн. границей суммы слаг. Сумма верх. границ слаг. явл. верх. границей суммы слаг.
Теорема 2
НГх-у= НГх- ВГy, ВГх-у= ВГх- НГy.
Док-во:
НГх- НГy≤х-у≤ ВГх- ВГy т.о.
НГх-у= НГх- НГy
ВГх-у= ВГх- ВГy
Пример
5.7≤х≤8.4 9≤х+у≤13.8
3.3≤у≤5.4 0.3≤х-у≤5.1
Теорема 3: Если нижние границы сомнож. неотриц., то справедливо след.: НГх* НГy≤ху≤ ВГх* ВГy.
Теорема 4: Если нижн. Граница х неотриц. и n-целое полож. число, то нижн. граница =( =(
Теорема 5: Если нижн. граница х неотриц., то = и =
Теорема 6: Если нижняя граница делителя полож., то ≤ ≤ . Док-во: ≤ ≤
Пример: Найти А=
2.57≤х≤2.58;1.45≤у≤1.46;8.33≤z≤8.34 (табл.).