7. Предел по множеству. Предел по направлению.

Пусть само х из пространства , точка b наз lim отображ f по множеству Е при , если для , тогда что если х пересеч 2-х множеств Е б-окрестности в точке ф, то , т.е. здесь ; a-предельная точка множества Е.

ОПР. наз lim отображения f в направлении вектора w.

Пусть (i1,i2…i_n)-некоторая произв. перестан. из чисел (1,2…n), тогда тогда этот lim наз. повторным, если сущ , то сущ и все его повторные lim. Однако из сущ повторных lim не следует сущ lim в точке.

если 1=1, то не всегда сущ предел.

8. Непрерывность отображений. Локальные свойства непрерывных отображений.

Пусть f отобр в х в , само х из .

ОПР. Если f задано окрестност.точки a(V(a)) и , то функция f непрерывна в точке а.

ОПР. f-непрерывна в а, если для такое, что если , то , т.е. .

Определение 1 и 2 не эквивалентны, так как в 1-ом случае точка а является предельной точкой множества х, а во втором может быть и изолированной точкой.

, тогда

В дальнейшем будем считать, что а-предельная точка множества х.

ОПР. пусть , если предел , , то отображение f называют непрерывным по множеству Е. рассмотрим свойства неопр.отображения.

Теорема1: пусть , если f и g непрерывны в точке n, то в точке а непрерывны также f+g, ,fg, .

Справедливость теоремы >>из определения 1 и теоремы о пределах и арифметических операций.

Теорема 2: для того, чтобы отображения f=(f1,f2…f_n) ,были непрерывны в точке а необходимо и достаточно чтобы в этой точке были непрерывны функции f.

Справедлив из определения 1. Теорема 3:1)пусть , если f непрерывна в точке а, , то существует окрестность в точке , где f ограничена.

2) если f(a)>0, f непрерывна в точке а, то в кот значение функции f(x)>0, для .

Теорема4: пусть , где , тогда , где отобр непрер. в точке а, если f непр в точке а, а g непрерывна в точке b,b=f(a) – локальное свойство непрерывных отображекний.

9. Равномерная непрерывность. Глобальные свойства непрерывных отображений.

Глобальные свойства непрерывных функций. Если свойство функции связано со всей её областью определения, то это свойство называют глобальным.

Теорема1. Если функция непрерывна на отрезке [a,b], принимает на его концах значение разных знаков , то на отрезке существует такая точка х_0, что .

Теорема2(бальцио-коши о промежуточных значениях). Если функция непрерывна на [a,b], g(a)=A, g(b)=B, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдётся точка , в кот g(c)=C. Доказательство: достаточно применить предыдущую теорему для функции .

Теорема3: (первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём.

Теорема 4(вторая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё максимальное и минимальное значение. Замечание: заметим, что теоремы Вейерштрасса неверны, если в условиях этих теорем отрезок [a,b] заменить на интервал (a,b). Достаточно рассмотреть функции для функции f1(x) неверна первая теорема Вейерштрасса, для f2(x)- вторая.

Равномерная непрерывность (т-ма Кантора, лемма Бореля). Непрерывность в точке выражается при . Пусть теперь функция непрерывна во всём множестве. Возникает вопрос, можно ли по данному найти такое , которое годилось бы для всех точек одновременно. Если это возможно, то функция равномерно непрерывна. Т. Кантора. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она будет равномерно непрерывна в D. Д-во: от противного. Допустим для некоторого не существует которое годилось бы одновременно для всех точек области D. Возьмём последовательность стремящихся к нулю чисел т.к. ни одно из не может годиться одновременно для всех точек D, то для каждого найдётся такая точка , для которой не годиться и тем не менее . Из ограниченной последовательности точек по лемме Больцано – Вейерштрасса (на любой ограниченной последовательности точек всегда можно извлечь такую частичную последовательность, которая сходилась бы к конкретной точке), извлечём такую частичную последовательность , что , причём предельная точка необходимо принадлежит D (ввиду её замкнутости).

Т.к. , и при возрастании k, и , то , так что и . Ввиду непрерывности в т. . D должно быть

что противоречит Л. Бореля. Пусть некоторая бесконечная система открытых множеств V (например, открытых кубов/шаров) покрывает замкнутое ограниченное множество . Тогда в этой системе существует конечное число указанных множеств V всё же покрывающих E. Д-во: т.к. мн. E ограничено, то куб , которому . Допустим, что лемма неверна. Разделим на равных частичных кубов. Тогда среди последних, очевидно, обязательно найдётся такой, который обозначим через , что теорема для множества также неверна (любая конечная система мн. V не покрывает ). Разделим равных кубов, среди них снова найдётся такой, который обозначим через , что для мн. т-ма неверна. Продолжив это неограниченно, получим систему включенных друг в друга кубов , диаметры которых стремятся к нулю, таких, что для мн. т-маневерна. Сущ. точка (по лемме: если задана последовательность прямоугольников вложенных друг в друга, с диаметров стремящимся к нулю. Тогда существует единственная точка принадлежащая всем прямоугольникам), принадлежащая всем . В силу замкнутости E она принадлежит E и потому покрыта некоторым мн. нашей системы. Т.к. - открытое мн., то при некотором достаточно большом k. . Т.е противоречие, потому что, с одной стороны покрывается одним множеством , с другой, - не существует никакой конечной системы множеств V, покрывающих