- •22. Дайте определение угловой скорости и углового ускорения вращающегося
- •23Что называется моментом силы, действующей на материальную точку, относительно начала координат?
- •24. Что называется моментом импульса материальной точки относительно начала координат?
- •25. Получите закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат (уравнение моментов для материальной точки).
- •26. Что называется моментом инерции твердого тела относительно оси вращения?
- •32. Получите закон сохранения момента импульса твердого тела относительно оси _вращения.
- •34. Установите связь между потенциальной энергией и консервативной силой.
- •35. Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли).
- •36. Какие законы сохранения выполняются при движении тела в центральном гравитационном поле? Получите явные выражения для этих законов сохранения. Какие следствия вытекают из этих законов сохранения?
- •37. Получите формулы для первой и второй космических скоростей тела, движущегося в I рант анионном поле Земли.
- •38. Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой
- •39Получите дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебании
- •40По какому закону изменяегся колеблющаяся величина при незатухающих гармонических колебаниях? Приведите график зависимости х(t)
- •40Дайте определение и выведите формулу периода колебаний пружинного маятника.
- •42. Дайтс определение и выведите формулу периода колебаний математического маятника.
- •43. Дайте определение и выведите формулу периода колебаний физического маятника.
- •44. Получите дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.
- •45. По какому закону изменяется колеблющаяся величина при затухающих гармонических колебаниях? Приведите график зависимости
- •46. Как определяется логарифмический коэффициент затухания?
- •47. Получите дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний.
- •48. От чего зависит амплитуда колебаний при вынужденных гармонических колебаниях? Приведите график зависимости a(q).
- •49. Получите уравнение плоской бегущей волны. Приведите график плоской бегущей волны.
- •50. Получите уравнение стоячей волны. Приведите график стоячей волны.
38. Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой
На выполнении закона сохранения импульса основано движение ракеты, если её рассматривать как замкнутую систему. Мы рассмотрим более общий случай движения тела с переменной массой при наличии внешней силы, например, движение ракеты в гравитационном поле Земли.
Пусть в момент времени t импульс системы равен .
За время dt выброшен газ массой dm со скоростью относительно ракеты, и импульса системы: ракета + газ стал равен:
.
В выражении для раскроем скобки и пренебрежем малой величиной более высокого порядка ( )
.
Тогда изменение импульса системы: ракета + газ за время dt равно: , .
Подставляя это во второй закон Ньютона , получим уравнение движения тела с переменной массой:
- уравнение Мещерского.
Второй член справа в этом уравнении представляет собой
- силу реактивной тяги, где — секундный расход топлива.
39Получите дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебании
Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначили через x. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой линии и т.п. Потенциальная энергия системы в этом случае будет функцией одной переменной х:
Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция (х) имеет минимум. Условимся координату х и потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия. Тогда . Разложим функцию (x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь.
Поскольку при х = 0 имеет минимум, , а положительна. Кроме того, по условию . Введя обозначение , получим:
Это выражение идентично с выражением для потенциальной энергии деформированной пружины. Воспользовавшись соотношением между потенциальной энергией и консервативной силой, найдем:
- проекция силы на направление х.
В дальнейшем индекс х при обозначении силы будем опускать и писать:
Это выражение тождественно выражению для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида , независимо от их природы, называют квазиупругими. Эти силы всегда направлены к положению равновесия, а модуль их пропорционален величине отклонения системы от равновесного положения. Такие силы еще называют возвращающими.
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m.
В положении равновесия сила тяжести mg уравновешивается упругой силой :
(1)
Б удем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось х направим вниз, а нуль оси х совместим с положением равновесия шарика.
Е сли сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет и проекция результирующей силы на ось х примет значение:
или, учитывая (1):
,
т.е. результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.
Сообщим шарику смещение , после чего предоставим систему самой себе.
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:
Введем обозначение , тогда получим:
- дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.