- •Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочной доли в случае повторной (бесповторной) выборки. Поясните все используемые обозначения.
- •Сформулируйте определение выборки из распределения. Как в этом случае определяются: выборочное среднее, выборочные начальные и центральные моменты, выборочная функция распределения?
- •Докажите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочного среднего в случае повторной выборки.
- •Выведите формулу для дисперсии выборочного среднего бесповторной выборки.
- •Что такое точечная статистическая оценка? Какие оценки называются несмещенными, эффективными, состоятельными? Приведите пример эффективной оценки.
- •Запишите формулу для несмещенной оценки начального момента произвольного порядка. Докажите несмещенность.
- •Сформулируйте теорему Слуцкого и на ее основе докажите теорему о состоятельных оценках центральных моментов.
- •Сформулируйте и докажите теорему о состоятельности оценок метода моментов.
- •Сформулируйте определения распределений χ², Стьюдента и Фишера. Какие из этих распределений являются симметричными?
- •Что называется интервальной оценкой параметра распределения? Какие оценки называются симметричными по вероятности? Определите понятия: доверительная вероятность и точность оценки.
- •Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при известном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?
- •Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?
- •Запишите приближенный (1–α)-доверительный интервал для генеральной доли признака в случае выборки большого объема n (n→∞). Поясните все используемые символы.
- •Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал предсказания. Для каких генеральных распределений применима данная формула?
- •Опишите общую схему проверки статистических гипотез. Определите понятия: критическая область, уровень значимости, мощность критерия. Какие гипотезы называются простыми (сложными)?
- •Определите отношение правдоподобия для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Сформулируйте теорему (лемму) Неймана – Пирсона и приведите пример наиболее мощного критерия.
- •Для проверки каких гипотез применяется критерий Колмогорова? Каким образом находится значение статистики данного критерия?
- •Определите p-значение статистического критерия. Каким образом находится p-значение, если известно распределение статистики критерия ? Рассмотрите случай критической области вида
- •В чем состоит метод наименьших квадратов (мнк)? Используя матричную запись, укажите явный вид (приближенного) решения системы линейных уравнений по мнк. В каком случае мнк-решение не существует?
Опишите общую схему проверки статистических гипотез. Определите понятия: критическая область, уровень значимости, мощность критерия. Какие гипотезы называются простыми (сложными)?
Статистическая гипотеза – любое утверждение о виде параметра генерального распределения. Стат. гипотеза называется параметрической, если она основана на предположении, что генеральное распределение известно с точностью до конечного числа параметров.
Параметрическая гипотеза называется простой, если она имеет вид , где - параметр распределения (возможно вектор), а - некоторое фиксированное значение параметра. Гипотеза вида , где - множество, содержащее, по меньшей мере, 2 элемента, называется сложной.
Пусть Н0 и Н1 – взаимоисключающие статистические гипотезы. Гипотезу Н0 назовем основной, а гипотезу Н1 – альтернативной.
Статистическим критерием с критической областью К называется правило, в соответствии с которым гипотеза , если выборка (x1,..,xn)принадлежит К и принимается, если (x1,..,xn) не принадлежит К. Как правило, критическая область задается при помощи неравенства:
с,с1,с2-критические значения, а функция t - статистика критерия.
Общая схема заключается в проверке принадлежности значения критерия критической области.
Ошибка первого рода : отвергается верная гипотеза Но.
Ошибка второго рода: отвергается верная гипотеза Н1.
Опр: Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости критерия и обозначается альфа. Вероятность ошибки второго рода обозначается бета, а величина 1-бетта называется мощностью критерия.
Определите отношение правдоподобия для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Сформулируйте теорему (лемму) Неймана – Пирсона и приведите пример наиболее мощного критерия.
Пусть генеральное распределение имеет строго положительная плотность ,зависящую от параметра тетта. H0 и Н1 – простые гипотезы:
L0, L1- функции правдоподобия, соответствующие гипотезам.
отношением правдоподобия называется отношение
- отношение правдовобия (1-я строка)
Лемма Немана-Пирсона: Для любого уровня значимости существует такая константа , что критерия с критической областью:
является наиболее мощным критерием среди всех статистических критериев с какой-либо критической областью К по проверке статистической гипотезы против гипотезы с уровнем значмости альфа
Пример наиболее мощного критерия:
Какие статистические критерии называются критериями согласия? Сформулируйте общую схему по проверке гипотезы о вероятностях событий, образующих полную группу, по критерию Пирсона без оценки неизвестных параметров.
Критерий согласия предназначен для проверки согласованности основной гипотезы Н0 с выборочными данными, однако, в отличии от других критериев, альтернативная гипотеза явным образом не выдвигается.
Производится серия повторных независимых испытаний, wt- элементарный исход испытания с номером t.
Пусть А1,…,Аl – образуют полную группу событий. Исходными данными для критерия хи-квадрат Пирсона является таблица эмпирических частот
Событие |
А1 |
… |
Al |
частота |
|
… |
n |
Если основная гипотеза верна, согласно статистическому определению вероятности -относительная частота события Аi. В качестве меры одновременной близости l пар чисел ( ) можно принять любую сумму вида , в которой ci>0 какие –либо положительные числа.
Заметим, что при верной Но, случайные величины ni распределены по биноминальному закону с параметрами n и pi, вследствие чего npi=Е(ni) называется ожидаемой (теоретической) частотой события Аi.теоретические частоты, ni- кол-во элементарных исходов в группе, l- кол-во групп, pi-заданная вероятность.
Определим l величин:
Где uk,i- i-ая компонента вектора uk, а Xi определяется соотношением
Из этого следует, что , а из ортонормированности базиса ,…, вытекает,что суммы квадратов Х1,…,Хl и Z0,…,Zl-1 совпадают
Нетрудно видеть, что
Получаем
Случайный вектор Z имеет нулевое математическое ожидание и единичную ковариационную матрицу. Применяя многомерный аналог центральной предельной теоремы, можно доказать, что при n стремящемся к бесконечности распределение вектора Z стремится к l-1-мерному нормальному распределению. В итоге получаем, что распределение статистики при достаточно большом n близко к распределению хи квадрат с l-1 степенями свободы.
Можно также доказать, что если гипотеза H0 не верна, то при n стрем. к бесконечности вероятность для любого с, что в конечном счете определяет достаточно высокую мощность критерия Пирсона.
В итоге приходим к выводу, что проверки по эмпирическим данным справедливости распределения с асимптотическим уровнем значимости альфа можно использовать критерий согласия хи квадрат Пирсона и критической областью .
Сформулируйте общую схему статистической проверки гипотезы о виде распределения по критерию Пирсона с оценкой неизвестных параметров. Как частный случай опишите проверку гипотезы о нормальном распределении.
Часто встречаются ситуации, когда гипотетическая вероятностная мера Р зависит от одного или нескольких параметров ,
Р(А)=Р(А; ),
Что приводит к зависимости вероятностей pi от :
Проверяемая гипотеза Н часто формулируется как утверждение о том, что истинная вероятностная мера Pист совпадает с гипотетической мерой Р при определенных значениях параметров . Тем не менее, фактической проверке подвергается не Н, а вытекающая из Н гипотеза Н0 о том, что распределение частот согласуется с распределением при определенном наборе значений параметров . П любой Н гипотеза Н0 заведомо является параметрической гипотезой.
Предположим, что -оценки, полученные методом максимального правдоподбия по таблице эмпирических частот
Заменив в вероятность рi на их оценки
получим статистику вида
Произведение np*i -ожидаемая частота события Аi
Распределение статистики при n стремящемся к бесконечности стремится к распределения хи квадрат с l-r-1 степенями свободы, в котором число степеней свободы по сравнению с аналогичным предельным распределением уменьшилось на количество оцененных параметров.
Сформулируйте общую схему статистической проверки гипотезы о виде распределения по критерию Пирсона с оценкой неизвестных параметров. Как частный случай опишите проверку гипотезы о нормальном распределении.
Часто встречаются ситуации, когда гипотетическая вероятностная мера Р зависит от одного или нескольких параметров ,
Р(А)=Р(А; ),
Что приводит к зависимости вероятностей pi от :
Проверяемая гипотеза Н часто формулируется как утверждение о том, что истинная вероятностная мера Pист совпадает с гипотетической мерой Р при определенных значениях параметров . Тем не менее, фактической проверке подвергается не Н, а вытекающая из Н гипотеза Н0 о том, что распределение частот согласуется с распределением при определенном наборе значений параметров . П любой Н гипотеза Н0 заведомо является параметрической гипотезой.
Предположим, что -оценки, полученные методом максимального правдоподбия по таблице эмпирических частот
Заменив в вероятность рi на их оценки
получим статистику вида
Произведение np*i -ожидаемая частота события Аi
Распределение статистики при n стремящемся к бесконечности стремится к распределения хи квадрат с l-r-1 степенями свободы, в котором число степеней свободы по сравнению с аналогичным предельным распределением уменьшилось на количество оцененных параметров.