- •Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочной доли в случае повторной (бесповторной) выборки. Поясните все используемые обозначения.
- •Сформулируйте определение выборки из распределения. Как в этом случае определяются: выборочное среднее, выборочные начальные и центральные моменты, выборочная функция распределения?
- •Докажите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочного среднего в случае повторной выборки.
- •Выведите формулу для дисперсии выборочного среднего бесповторной выборки.
- •Что такое точечная статистическая оценка? Какие оценки называются несмещенными, эффективными, состоятельными? Приведите пример эффективной оценки.
- •Запишите формулу для несмещенной оценки начального момента произвольного порядка. Докажите несмещенность.
- •Сформулируйте теорему Слуцкого и на ее основе докажите теорему о состоятельных оценках центральных моментов.
- •Сформулируйте определения распределений χ², Стьюдента и Фишера. Какие из этих распределений являются симметричными?
- •Что называется интервальной оценкой параметра распределения? Какие оценки называются симметричными по вероятности? Определите понятия: доверительная вероятность и точность оценки.
- •Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при известном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?
- •Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?
- •Запишите приближенный (1–α)-доверительный интервал для генеральной доли признака в случае выборки большого объема n (n→∞). Поясните все используемые символы.
- •Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал предсказания. Для каких генеральных распределений применима данная формула?
- •Опишите общую схему проверки статистических гипотез. Определите понятия: критическая область, уровень значимости, мощность критерия. Какие гипотезы называются простыми (сложными)?
- •Определите отношение правдоподобия для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Сформулируйте теорему (лемму) Неймана – Пирсона и приведите пример наиболее мощного критерия.
- •Определите p-значение статистического критерия. Каким образом находится p-значение, если известно распределение статистики критерия ? Рассмотрите случай критической области вида
- •В чем состоит метод наименьших квадратов (мнк)? Используя матричную запись, укажите явный вид (приближенного) решения системы линейных уравнений по мнк. В каком случае мнк-решение не существует?
Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал предсказания. Для каких генеральных распределений применима данная формула?
Х1,…,Xn+1 – выборка из нормального распределения в генеральной совокупности
Будем считать, что Xi-результат наблюдения Х в испытании, проводимом в момент времени i=1,…,n+1. Тогда имеет смысл следующая задача: построить по данным X1,..,Xn интервал предсказания (L,H), накрывающий Xn+1с доверительной вероятностью гамма.
Используя стандартные статистики
Построим статистику:
T= s – исправленная дисперсия
Статистика распределена по закону Стьюдента, является центральной статистикой. Построим двусторонний интервал предсказания для Xn+1, т.е. такой интервал (L,H), что L=l(X1,…,Xn), H=h(X1,…,Xn) и
Выбираем
Имеем:
Запишите (1–α)-доверительную оценку сверху для математического ожидания нормального распределения с известной (неизвестной) дисперсией по выборке объема n. Почему данная оценка (неравенство) выполняется с вероятностью (1–α)?
Пусть σ2 известна
1)Выберем положительные и
2)
Получаем:
и
Получаем:
-ген среднее, -ген дисперсия, АЛЬФА, n
(1-α)-доверительная оценка µ симметричная по вероятности имеет след. вид:
Теорема: Если Х1,…,Хn независимы и распределены по нормальному закону, то отношение T распределено по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы.
Построение интервала аналогично выше приведенному, но кроме вместо процентных точек стандартного нормального распределения используются процентные точки распределения Стьюдента.
.
Опр.: Двухсторонняя интервальная оценка называется симметричной по вероятности, если
- (1 – α)-доверительная оценка сверху при изв-й дисперсии;
- (1 – α)-доверительная оценка сверху при неизв-й дисперсии;
В данном случае , то есть данная оценка сверху выполняется с вероятностью (1- ).
Запишите (1–α)-доверительную оценку сверху для дисперсии нормального распределения с известным (неизвестным) математическим ожиданием a по выборке объема n. Почему данная оценка (неравенство) выполняется с вероятностью (1–α)?
При известном мат. Ожидании существует эффективная точечная оценка дисперсии:
Центральная статистика:
- распределена по закону N(0,1), распределением статистики является хи квадрат.
Зависимость T0 от сигма квадрат является убывающей.
Теорема: Если и независимо, то .
Распределено по закону хи квадрат с n-1 степенями свободы.
- (1–α)-доверительная оценка сверху для дисп при известном мат ожидании
- (1–α)-доверительная оценка сверху для дисп при неизвестном мат ожидании;
В данном случае , то есть данная оценка сверху выполняется с вероятностью (1- ).
Опишите общую схему проверки статистических гипотез. Определите понятия: критическая область, уровень значимости, мощность критерия. Какие гипотезы называются простыми (сложными)?
Стат. гипотеза – любое утверждение о виде параметра генерального распределения. Стат. гипотеза называется параметрической, если она основана на предположении, что генеральное распределение известно с точностью до конечного числа параметров.
Параметрическая гипотеза называется простой, если она имеет вид , где - параметр распределения (возможно вектор), а - некоторое фиксированное значение параметра. Гипотеза вида , где - множество, содержащее по меньшей мере 2 элемента, называется сложной.
Пусть Н0 и Н1 – взаимоисключающие статистические гипотезы. Гипотезу Н0 назовем основной, а гипотезу Н1 – альтернативной.
Стат. Критерием с критической областью К называется правило, в соответствии с которым гипотеза , если выборка (x1,..,xn)принадлежит К и принимается, если (x1,..,xn) не принадлежит К. Как правило, критическая область задается при помощи неравенства:
с,с1,с2-критические значения, а функция t - статистика критерия.
Ошибка первого рода : отвергается верная гипотеза Но.
Ошибка второго рода: отвергается верная гипотеза Н1.
Опр: Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости критерия и обозначается альфа. Вероятность ошибки второго рода обозначается бета, а величина 1-бетта называется мощностью критерия.