Тема 2. Ду высших порядков.
ДУ высших порядков. Основные понятия.
1.ДУ n-ого порядка могут иметь вид
Или
2.Решением уравнения (1) или (2) называется функция , n раз дифференцируемая и обращающая уравнение (1) или (2) в тождество. Решение может быть записано в также в неявном виде: и в параметрической форме: . График решения называется интегральной кривой.
3.Задача Коши для уравнения (1) или (2) ставится найти решение уравнения (1) или (2), удовлетворяющее начальным условиям:
4.Наряду с задачей Коши , где все условия задаются в одной точке, для уравнений n-ого порядка можно ставить и граничные задачи и смешанные задачи, когда условия задаются на концах заданного интервала, и в некоторый момент времени (всего должно быть задано n условий).
Пример 1. Найти решение граничной (краевой) задачи , удовлетворяющее граничным условиям .
Пример 2. Найти решения смешанной задачи для уравнения , удовлетворяющее начальным условиям и граничным условиям .
5.Функция называется общим решением уравнения (1) или (2) если
а) она имеет непрерывные производные до n-го порядка включительно и удовлетворяет уравнению (1) или (2),
б) система уравнений
разрешима относительно постоянных С1, С2, … , Сn.
в) при любом фиксированном наборе С1, С2, … , Сn мы получим частное решение.
Если общее решение записано в виде , то оно называется общим интегралом.
6. Для уравнений (1) и (2) аналогичным образом формируется теорема Пикара.
7. Решение уравнения n-го порядка называется частным, если в каждой его точке сохраняется единственность решения задачи Коши.
8. Решение называется особым, если в каждой его точке нарушается единственность решения задачи Коши.
9. Задача интегрирования уравнения n-го порядка решается методом понижения порядка.
ДУ интегрируемые в элементарных функциях.
I а)
Последовательно интегрируя n раз, найдем
Формула (2) дает общее решение уравнения (1).
б)
Если уравнение (3) удастся разрешить относительно , то получим уравнение вида (1). Пусть (3) не разрешимо относительно . Введем параметр t по формулам:
,
так, чтобы .
Из равенства , найдем
или
Аналогичным образом из системы
Найдем и т.д.
В результате найдем общее решение в параметрической форме:
Пример 1. .
Решение. , тогда и т.д.
II а)
Запомним замену . Получим уравнение .
Решая его, найдем
.
Если это соотношение разрешимо относительно z, то получим уравнение вида (1). Если не разрешимо, то уравнение вида (3).
Пример 2.
б)
Введем параметр t по формулам так, что бы , т.к. , то и . В результате получим систему соотношений которая рассматривается так же как в пункте I б).
Пример 3. .
III а)
После подстановки и умножения на обоих частей полученного уравнения, получим
Это уравнение можно записать в виде
Отсюда
или , где
Тогда уравнение , есть уравнение вида .
Пример 4. .
б)
Вводим параметр t по формулам , так что бы .
Из равенств . Найдем или или
Это уравнение рассмотрено в пункте II б).
Мы показали, что рассмотренные 6 видов уравнений n-го порядка всегда интегрируются в элементарные функции.
ДУ допускающие понижение порядка.
I.ДУ, не содержащие явно искомой функции и нескольких первых производных:
После замены получаем уравнение
Которое вообще говоря не всегда разрешимо. Предположим, что его удалось разрешить:
т.е.
Уравнение (3) мы рассмотрели ранее.
Пример 1. .
Решение. Обозначим . Тогда . Сделаем замену . Тогда
II.
Положим . В качестве независимой переменной будем считать у. Тогда
и т.д. В результате получим уравнение
Если удается его проинтегрировать, то его общий интеграл
дает ДУ первого порядка, которое всегда интегрируется.
Пример 2. .
III.ДУ, левая часть которых является точкой производной.
Пусть левая часть уравнения есть производная некоторой функции, т.е. уравнение
можно записать в виде
общий интеграл этого уравнения
есть ДУ (n-1) порядка.
Пример 3. .