Теорема о движении центра масс мех. Системы.

Рассмотрим движущуюся систему мат. точек М₁, М₂, М_i, M_n, находящихся под действием внешних и внутренних сил (рис). Положение центра масс системы С определяется равенством

r_c = ∑m_ir_i/m. Уравнения движения точек этой системы имеют вид

m_i d²r_i/dt² = P_i^E + P_i^J ; (i = 1, 2, …, n), суммируем эти уравнения:

∑m_i d²r_i/dt² =∑ P_i^E + ∑ P_i^J (а). Преобразуем левую часть равенства, учитывая (r_c = ∑m_ir_i/m) получаем: ∑m_i d²r_i/dt² = d²/dt² * ∑m_i r_i = d²/dt² * (mr_c) = md²r_c/dt². Геометрическая сумма внутренних сил равна 0. Уравнение  (а) приобретает вид: md²r_c/dt² = ∑P_i^E = R^E   или

ma_C = ∑ P_i^E = R^E   (в). т.е. произведение массы системы на ускорение её центра масс = геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил. Уравнение (в) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс мех. сис. движется как мат. точ. массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

Проецируя на оси x, y, z – mx_C = ∑ X_i^E = X^E

Теорема об изменении количества движения.

Рассмот­рим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения  и сложим их почленно. Тогда получим:

.

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,                  

Окончательно находим:

.

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества  движения  системы  в  дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будем иметь:

         

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент   количество движения системы равно  , а в момент   становится равным  . Тогда, умножая обе части равенства   на dt и интегрируя, получим:

или

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежу­ток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будем иметь:

       

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­жении центра масс. Так как   то, подставляя это значение в равенство и учитывая, что  , мы получим  .

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).

 

Теорема Гюйгенса - Штейнера.

Найдем зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и z', одна из которых проходит через центр масс С тела. Проведем остальные оси так, как это показано на рис. 3.6

    

 Рис 3.6. К выводу теоремы Гюйгенса-Штейнера

По определению осевых моментов инерции (3.10) имеем

  ,  ,

Из рис. 3.6

  ,  .

Тогда

 

 

Так как   и согласно (3.8)   получаем

  . (3.15)

Формула (3.15) выражает теорему Гюйгенса-Штейнера:.

где

 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

 — расстояние между указанными осями.

 Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Из теоремы следует, что наименьший момент инерции - это момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

В заключение рассмотрим, в чем проявляется влияние введенных характеристик распределения масс на частном примере вращения стержня с двумя одинаковыми шарами (см. рис. 3.7)

 

 Рис 3.7 Влияние моментов инерции на динамические реакции

Если  , то центр масс системы не лежит на оси z и при вращении появится постоянное по величине давление на подшипники; если h1 = h2 , то этих давлений не будет. Если шары раздвинуть, сохраняя h1 = h2 , положение центра масс не изменится, но увеличится  Jz и при прочих равных условиях вращение будет происходить медленнее. Если стержень сделать наклонным по отношению к оси z (сохраняя h1 = h2 ), то ни положение центра масс ни осевой момент инерции Jz не изменятся, но центробежный момент инерции  Jyz уже не будет равен нулю, а ось z не будет главной; в результате при вращении появятся «биения оси » - переменные по величине давления на подшипники, приводящее к их быстрому износу.

Задачи динамики и их решение   В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и во всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела или системы координатных осей, связанных с этим телом