5.3.2. Теорема о минимаксе

Основной теоремой в теории игр с нулевой суммой является теорема о минимаксе, согласно которой любая конечная игра имеет решение, если допускается использование смешанных стратегий.

Обозначим через

матрицу-столбец, состоящую из вероятностей x_i, выбора i-й стра­тегии игрока А, и через

соответственно матрицу-столбец (вектор) вероятностей появления стратегий игрока B. В приведенных формулах

Теперь можно ставить вопрос об оптимальном выборе стратегии.

В этом случае векторы х и у называются смешанными стратегиями игроков А и В соответственно. Если в векторе х или у (или обоих вместе) все составляющие равны нулю, за исключением одной, то такую стратегию называют чистой. Чистая стратегия может быть оптимальной только при наличии седловой точки. В противном случае следует говорить об оптимальных смешанных стратегиях. При наличии смешанных стратегий следует оперировать не платежами, а средним значением (математическим ожиданием) платежей. Допустим, что игрок А выбирает чистую стратегию i, а игрок В – смешанную стратегию у. Тогда средний платеж игроку А равен:

.

Величина u_i представляет собой i-ю составляющую вектора-столбца u:

.

Если игрок В применяет чистую стратегию j, а игрок А – сме­шанную стратегию х, то средний платеж игроку А равен:

Величина l_j представляет собой j-ю составляющую матрицы-строки l^t:

.

Если игроки А и В применяют смешанные стратегии х и у соответственно, то средний платеж игроку А

.

Основная теорема теории игр, теорема о минимаксе, утверждает, что максимин среднего платежа равен минимаксу среднего платежа, т.е.

.

Из этого равенства следует, что существует такая пара стратегий , что

для всех x и y.

В этом случае пара векторов (х*, у*) называется решением игры, оптимальными стратегиями, a v – ценой игры, т. е. всегда сущест­вует решение игры в классе чистых или смешанных стратегий.

В оптимальную смешанную стратегию не обязательно входят все чистые стратегии. Поэтому для тех чистых стратегий, которые входят в оптимальную смешанную стратегию, вводят специальный термин – активные стратегии. С активными стратегиями связано очень важное положение. Оказывается, что оптимальная смешан­ная стратегия, примененная против любой активной стратегии, дает цену игры. И, наоборот, любая активная стратегия, применен­ная против оптимальной смешанной стратегии, также дает цену игры. Это значит, что если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то выигрыш (платеж) остается неизменным и равным цене игры v, независимо от стратегии другого игрока, если тот применяет одну из своих активных стратегий, их оптималь­ную и неоптимальную комбинацию (т. е. не выходит из класса ак­тивных стратегий).

Это очень важное положение широко исполь­зуется при определении решений игр. При этом необходимо прежде всего определить активные стратегии свои и противника. Далее, приравняв средние платежи при активных стратегиях противника и смешанных из активных своих стратегий цене игры, получим систему алгебраических уравнений, решив которые, можно найти свою оптимальную смешанную стратегию.