14. Функции. Основные понятия. Графики элементарных функций и их свойства. Линейная; квадратный трехчлен

Основные понятия и свойства функций

Область определения и область значений функции.

Правило (закон) соответствия. Монотонная функция.

Ограниченная и неограниченная функции. Непрерывная и

разрывная функции. Чётная и нечётная функции.

Периодическая функция. Период функции.

Нули функции. Асимптота.

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f ( x ) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции. Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

- задана область определения функции X ;

- задана область значений функции Y ;

- известно правило ( закон ) соответствия, причём такое, что для каждого

значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) < f ( x1 ), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

П р и м е р ы .

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. ( Объясните это, пожалуйста ! ).

Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x = a, если :

1) функция определена при x = a, т.e. f ( a ) существует;

2) существует конечный предел lim f ( x ) ; x→a

3) f ( a ) = lim f ( x ) . x→a

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a.

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( - x ) = - f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

Периодическая функция. Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

П р и м е р 1 . Доказать, что sin x имеет период 2 .

Р е ш е н и е . Мы знаем, что sin ( x+ 2n ) = sin x, где n = 0, ± 1, ± 2, …

Следовательно, добавление 2n к аргументу синуса не меняет его значениe. Существует ли другое число с таким же свойством ? Предположим, что P – такое число, т.e. равенство: sin ( x+ P ) = sin x, справедливо для любого значения x.

Но тогда оно место и при x = / 2 , т.e.sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P. Тогда из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

знаем, что это верно лишь при P = 2n. Так как наименьшим отличным от нуля числом из 2n является 2, то это число и есть период sin x. Аналогично доказывается, что 2 является периодом и для cos x .

П р и м е р 2. Какое число является периодом функции sin 2x ?

Р е ш е н и е . Рассмотрим sin 2x = sin ( 2x + 2n ) = sin [ 2 ( x + n ) ] .

Мы видим, что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции. Наименьшее отличное от нуля число

из n есть , таким образом, это период sin 2x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем ) функции. Функция может иметь несколько нулей. Например, функция y = x ( x + 1 ) ( x-3 ) имеет три нуля: x = 0, x = -1, x = 3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой. Copyright © 2004 - 2007 Др. Юрий Беренгард.

вторе

Квадратный трехчлен

Определение. Квадратным трехчленом называется функция, определенная на всей числовой оси равенством вида ,

где

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции , называется параболой.

При изменении масштаба получим график функции

Теорема. График квадратного трехчлена — парабола.

Доказательство. Теорема доказана для трехчленов вида (нужно изменить масштаб, взяв ).

где . . Следовательно, график квадратного трехчлена можно получить из параболы при таком параллельном переносе координатных осей, чтобы начало координат оказалось в точке (см. рис. 31).

Рис. 31

Если a > 0, то f строго убывает на и f строго возрастает на

Если a < 0 , то f строго возрастает на и строго убывает на .

Доказательство. Пусть a > 0 , пусть

Определение. Число D, равное , называется дискриминантом квадратного трехчлена .

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня и

Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень .

Если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет вещественных корней.

Промежутки знакопостоянства

1. D > 0. Пусть x1, x2 — корни квадратного трехчлена, . Заметим (рис. 32), что

усть a > 0 . Тогда f строго убывает на . Следовательно, при и при .

строго возрастает на . Следовательно, при и при .

Итак, если a > 0 , D > 0, то f отрицательна на (между корнями), f положительна вне отрезка .

2. .

Отсюда следует, что при a > 0 квадратный трехчлен положителен на всей оси (кроме точки , если D = 0), а при a < 0 квадратный трехчлен отрицателен на всей оси (кроме точки , если D = 0).

Множество значений квадратного трехчлена

Определение. Множество значений функции f — это множество таких чисел p, для которых уравнение имеет корень.

Пусть — квадратный трехчлен.

Это уравнение имеет корень в том и только в том случае, если

где D — дискриминант данного квадратного трехчлена.

Если a > 0, то множество значений квадратного трехчлена .

Если a < 0, то множество значений квадратного трехчлена .

15. Тригонометрические функции; обратные функции

16. Логарифмическая функция; показательная функция.

Показательная функция (экспонента). Это функция вида ?

a > 0, a ≠ 1. Для нее и

и при а > 1 график имеет такой вид:

при а < 1 график имеет такой вид:

Число а называется основанием показательной функции.

Показательная функция, такая функция, которая может быть задана формулой , где а - любое положительное число, не равное единице.

Свойства показательной функции

Область определения показательной функции - множество всех действительных чисел. Ведь положительное число а можно возвести в степень с любым показателем х.

Это значит, что график показательной функции простирается вдоль всей оси абсцисс.

Область значений показательной функции - множество всех положительных чисел. Ведь при возведении положительного числа а в степень с показателем х не может получиться ни нуля, ни отрицательного числа. Это значит, что график показательной функции не может иметь общих точек с осью абсцисс и не может иметь точек в третьей и четвертой четверти. График показательной функции простирается над всей осью абсцисс.

Из сказанного следует, что показательная функция сохраняет один и тот же знак на всей области определения - всегда положительна.

Монотонность показательной функции определяется значением основания а:

если а>1, то функция возрастает, если а < 1, то функция убывает.

Логарифмическая функция. Это функция вида , a > 0, a ≠ 1. Для неё , , , и при a > 1 график имеет такой вид:

Рис.1.21.График логарифмической функции при a > 1

При a <1 график получается такой

Число a называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.

Функция вида y = loga х (где а > 0, а ≠ 1) называется логарифмической.

1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

Это следует из определения логарифма, так как выражение logax имеет смысл только при x > 0.

2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.

Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что logax = b, т.е. уравнение logax = b имеет корень. Такой корень существует и равен x = ab, так как logaab = b.

3) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 0, и убывающей, если 0 < a < 1.

4) Если a > 0, то функция y = logax принимает положительные значения при x > 1, отрицательные — при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, то функция y = logax принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при x > 1.

Это следует из того, что функция y = logax принимает значение , равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 1, и убывающей, если 0 > a > 1.

Стоит отметить, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1 ; 0)

16. Сложная функция.

Сложная функция

Если функция y зависит от переменной u, т. е. у = f (u), u U, а u, в свою очередь, является какой - либо функцией от независимой переменной х, т. е u = g (x), х Х, то переменная у называется функцией от функции (или сложной функцией) от x и записывается в виде Y = f (u), u = g (x), или y = f [g (x)].

Область определения сложной функции - это множество тех значений х X, для которых функция g (x) определена, кроме того, значения u принадлежат области определения функции y = f (u).

П р и м е р 3. Функция является сложной. Здесь y = √ u и u = x2 − 2·x − 3.

Функция u = x2 − 2·x − 3 определена на всей числовой прямой, т. е. x R. В область определения функции y = f (x) входят лишь те значения х, для которых подкоренное выражение неотрицательно x2 − 2·x − 3 ≥ 0, поэтому х ≤ − 1 и х ≥ 3. Следовательно, D = (− ∞, 1] [3, + ∞) . На интервале [− 1, 3] заданная функция не существует.

Из определения следует, что сложная функция у = f [g (x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций: у = f (u), u = g (x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной х.